(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a5 + b3, где a и b — натуральные числа?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2024, 11 класс, задача 4
(15 баллов) Есть 4n отрезков длины x1, x2, ldots, x4n, где x1 = 1, x2 = 2, а при k > 2 выполнено xk = xk-1 + xk-2. Сколькими способами эти отрезки можно разбить на четвёрки так, чтобы из отрезков каждой четвёрки
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 11 класс, задача 5
(20 баллов) Деревни некоторой языческой страны соединены дорогами так, что от любой деревни можно добраться до любой другой не проходя ни через какую деревню дважды, причём сделать это можно единственным способом. В каждой деревне живёт своё племя туземцев. Каждое племя поклоняется одному из трёх ид
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 11 класс, задача 6
(20 баллов) Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый 2024-угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению сину
Очень сложная
Стереометрия
Высшая проба 2024, 11 класс, задача 2
(15 баллов) В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, ldots, 109 девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на 9?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 11 класс, задача 3
(15 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD, в котором AB = BC = CD, диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Описанная окружность треугольника ADE пересекает сторону AB в точке P neq A и продолжение стороны CD в точке Q neq D. Докажите, что отрезки AP и DQ равны.
(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a3 + b2, где a и b — натуральные числа?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 5
(20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC. Биссектриса AL пересекает ω в точке S ne A. Докажите, что длина проекции отрезка AS на прямую AB больше длины отрезка AL.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 6
(20 баллов) По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них?
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 3
(15 баллов) В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точки E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окружность в точке T ne I. Докажите, что ортоцентр треугольника AEF равноудалён от точек T и I.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 2
(15 баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов f(x) = x2 + px + q с целыми коэффициентами, что f(f(1000)) = 0?
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2024, 9 и 10 классы
(15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест
(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a3 + b2, где a и b — натуральные числа?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 2
(15 баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов f(x) = x2 + px + q с целыми коэффициентами, что f(f(1000)) = 0?
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 3
(15 баллов) В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точки E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окружность в точке T ne I. Докажите, что ортоцентр треугольника AEF равноудалён от точек T и I.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 9 и 10 классы
(15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 5
(20 баллов) Окружность ω описана около треугольника ABC. Биссектриса AL пересекает ω в точке S ne A. Докажите, что длина проекции отрезка AS на прямую AB больше длины отрезка AL.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 10 класс, задача 6
(20 баллов) По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них?
(20 баллов) Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. На S1 и S2 выбраны точки B и A соответственно такие, что отрезки O1A и O2B касаются окружностей и пересекаются в точке C. Дока
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p2. Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 3
(15 баллов) Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке P. Известно, что периметры треугольников APB и CPD равны. Обязательно ли трапеция ABCD является равнобедренной?
Средняя
Планиметрия
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 1
(15 баллов) Петя задумал число x, а Вася — число y, причём Петино число x оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения dfrac{x3}{x2+x+1}, а Вася — выражения dfrac{y3}{y2+y+1}. Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного?
Средняя
Алгебра
Неравенства
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 2
(15 баллов) Имеется 26 карточек: по две штуки с числами 1, 2, 3, ldots, 13. Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы: любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке; если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке. Каким минимальным
(15 баллов) Петя задумал число x, а Вася — число y, причём Петино число x оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения dfrac{x3}{x2+x+1}, а Вася — выражения dfrac{y3}{y2+y+1}. Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного?
Средняя
Алгебра
Неравенства
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 2
(15 баллов) Имеется 26 карточек: по две штуки с числами 1, 2, 3, ldots, 13. Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы: любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке; если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке. Каким минимальным
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 3
(15 баллов) Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке P. Известно, что периметры треугольников APB и CPD равны. Обязательно ли трапеция ABCD является равнобедренной?
Средняя
Планиметрия
Высшая проба 2024, 9 и 10 классы
(15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 5
(20 баллов) Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. На S1 и S2 выбраны точки B и A соответственно такие, что отрезки O1A и O2B касаются окружностей и пересекаются в точке C. Дока
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p2. Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024.
(20 баллов) В треугольнике ABC проведена высота BH. Точка N симметрична H относительно середины стороны AC. Предположим, что BN = AC. Докажите, что ортоцентр делит отрезок BH в отношении 3: 1, считая от вершины.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 2
(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из девяти карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 8. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 4
(15 баллов) Найдите все пары целых (x; y), для которых верно равенство √(x - √y) + √(x + √y) = √(xy).
Средняя
Алгебра
Уравнения
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 1
(15 баллов) В школьную столовую собираются завезти шесть видов шоколадных батончиков. По ГОСТу требуется, чтобы цены батончиков были натуральными числами и суммарная стоимость шести различных батончиков была равна 101 рублю. Кроме того, администрация хочет установить цены так, чтобы для любых двух ш
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 3
(15 баллов) Параллелепипед 6 × 5 × 5 покрасили снаружи в синий цвет, а потом распилили на единичные кубики. Из какого наибольшего числа кубиков можно сложить синий снаружи параллелепипед без внутренних полостей, используя только кубики с хотя бы одной синей гранью?
Средняя
Стереометрия
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 6
(20 баллов) Дана таблица с n строками и десятью столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки табли
(15 баллов) В школьную столовую собираются завезти шесть видов шоколадных батончиков. По ГОСТу требуется, чтобы цены батончиков были натуральными числами и суммарная стоимость шести различных батончиков была равна 101 рублю. Кроме того, администрация хочет установить цены так, чтобы для любых двух ш
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 2
(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из девяти карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 8. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 3
(15 баллов) Параллелепипед 6 × 5 × 5 покрасили снаружи в синий цвет, а потом распилили на единичные кубики. Из какого наибольшего числа кубиков можно сложить синий снаружи параллелепипед без внутренних полостей, используя только кубики с хотя бы одной синей гранью?
Средняя
Стереометрия
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 4
(15 баллов) Найдите все пары целых (x; y), для которых верно равенство √(x - √y) + √(x + √y) = √(xy).
Средняя
Алгебра
Уравнения
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 5
(20 баллов) В треугольнике ABC проведена высота BH. Точка N симметрична H относительно середины стороны AC. Предположим, что BN = AC. Докажите, что ортоцентр делит отрезок BH в отношении 3: 1, считая от вершины.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2024, 8 класс, задача 6
(20 баллов) Дана таблица с n строками и десятью столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки табли
(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из восьми карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 7. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 4
(15 баллов) Дана таблица с 8 строками и 5 столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы зап
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 1
(15 баллов) Разрежьте фигуру (см. рисунок справа) на три равные части по сторонам клеток. Части можно поворачивать и переворачивать. Фигура
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 3
(15 баллов) Полина и Вика загадали два целых числа: a и b, при этом оказалось, что a > b. Полина нашла значение выражения a3 - a2 + 2024a, а Вика нашла значение выражения b3 - b2 + 2024b. Могло ли Полинино число оказаться меньше Викиного?
Средняя
Алгебра
Неравенства
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 5
(20 баллов) По кругу стоит шесть коробок, в одной из них камень. За ход можно из коробки взять один камень и положить по одному камню в соседние с ней коробки. А можно наоборот пару камней в коробках через одну заменить одним камнем в коробке между ними. Через некоторое количество ходов снова осталс
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 6
(20 баллов) Назовём расстоянием между двумя клетками доски минимальное количество ходов, которое нужно шахматному коню, чтобы попасть из одной из них в другую. Назовём тройку клеток правильной, если попарные расстояния между ними одинаковые. Сколько правильных троек есть на доске 4 × 4? Примечание.
(15 баллов) Разрежьте фигуру (см. рисунок справа) на три равные части по сторонам клеток. Части можно поворачивать и переворачивать. Фигура
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 2
(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из восьми карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 7. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 3
(15 баллов) Полина и Вика загадали два целых числа: a и b, при этом оказалось, что a > b. Полина нашла значение выражения a3 - a2 + 2024a, а Вика нашла значение выражения b3 - b2 + 2024b. Могло ли Полинино число оказаться меньше Викиного?
Средняя
Алгебра
Неравенства
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 4
(15 баллов) Дана таблица с 8 строками и 5 столбцами, Петя и Вася по очереди ставят в клетки таблицы крестики и нолики. За ход Петя ставит два крестика (или, если осталось одно незаполненное поле, то 1 крестик), а Вася ставит один нолик. Начинает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы зап
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 5
(20 баллов) По кругу стоит шесть коробок, в одной из них камень. За ход можно из коробки взять один камень и положить по одному камню в соседние с ней коробки. А можно наоборот пару камней в коробках через одну заменить одним камнем в коробке между ними. Через некоторое количество ходов снова осталс
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2024, 7 класс, задача 6
(20 баллов) Назовём расстоянием между двумя клетками доски минимальное количество ходов, которое нужно шахматному коню, чтобы попасть из одной из них в другую. Назовём тройку клеток правильной, если попарные расстояния между ними одинаковые. Сколько правильных троек есть на доске 4 × 4? Примечание.
