Высшая проба 2024, 9 класс, задача 6
( баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами. Известно, что если ( целый) делится на некоторое простое , то также делится на . Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых .
Пусть и для некоторого есть целый такой, что делится на . Тогда тоже делится на , а значит и делятся на . Отсюда следует, что делится на , a делится на . Возведём в квадрат и вычтем — полученное выражение будет также делиться на :
Значит, если , таких конечное число — все они находятся среди делителей , назовём их . Покажем, что так не бывает, предъявив ещё одно такое . Например, ещё простой делитель найдётся у , потому что число в скобках больше всех наших простых и оно с ними всеми взаимно просто. Таким образом, , а значит, имеет вид , где — целое число. Тогда если делится на произвольное простое , то также делится на , а значит, делится на .