Высшая проба 2023, 7 класс, задача 3
( баллов) На складе стоят несколько ящиков. Известно, что ящиков не более ,
и в каждом из них находятся либо яблок, либо апельсинов. После того, как на склад принесли
коробку с некоторым количеством апельсинов, фруктов на складе стало поровну. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть в принесённой коробке?
Ответ: .
Решение. Обозначим количество ящиков с апельсинами через , количество ящиков с яблоками — через , а количество апельсинов в принесённом ящике — через . По условию . Перенеся влево, получим . Отсюда следует, что — натуральное число, кратное , поэтому оно не меньше . Также, поскольку обе части равенства положительны, получаем . Если , то и , что противоречит условию . Значит, . Осталось заметить, что при , и условие задачи выполняется, то есть в принесённой коробке могло быть ровно апельсинов.
Другое решение. Рассмотрим ситуацию с наименьшим возможным количеством апельсинов в коробке. Заметим, что ящиков с яблоками должно быть больше, чем ящиков с апельсинами (иначе в ящиках яблок уже меньше, чем апельсинов, и принесенная коробка с апельсинами не сможет уравнять количество фруктов). Обозначим количество ящиков с апельсинами через ; тогда , иначе общее количество ящиков превысит .
Докажем, что ящиков с яблоками ровно на больше, чем ящиков с апельсинами. Действительно, в ином случае ящиков с яблоками не менее . Получается, яблок в ящиках больше, чем апельсинов, хотя бы на . Так как , то эта разность не меньше . Но тогда один ящик с яблоками можно убрать, а количество апельсинов в принесенной коробке уменьшить на . Значит, рассматриваемый случай не дает минимального количества апельсинов в коробке, противоречие. Тогда разность между количествами яблок и апельсинов в ящиках равна . Она уменьшается с увеличением , то есть наименьшее значение разности достигается при наибольшем значении . Отсюда ясно, что эта разность (равная количеству апельсинов в коробке) достигает наименьшего значения, равного , при наибольшем значении (всего ящиков тогда ровно
Используется наибольший подходящий критерий.
15 б. Любое полное решение задачи.
12 б. Оценка — доказано, что в коробке не менее 30 апельсинов.
Альтернативно (если указанные выше критерии не применимы, либо дают меньше баллов), сум- мируются следующие продвижения.
+8 б. Доказывается, что для достижения минимальной разности между количеством яблок и количеством апельсинов необходимо, чтобы коробок с яблоками было ровно на одну больше.
В отсутствие доказательства этого факта используется следующий критерий.
+6 б. Этот факт утверждается без доказательства.
+7 б. Разобраны при всехслучаи, когда ящиков с яблоками, а с апельсина- ми —. (Например, может быть просто отмечено, что при увеличениина 1 разность 59() − 60n =уменьшается на 1.).
В отсутствие полного разбора этих случаев используется следующий критерий.
+3 б. Пример — указана ситуация, в которой апельсинов в коробке ровно 30 (либо иным способом доказано, что такая ситуация возможна). Следующее продвижение не оценивается.
0 б. Приведён верный ответ. # hse-vp-2023-final-g7 / solutions / page 5 ## Best Text.