Высшая проба 2025, 7 класс, задача 6
( баллов) Король придумал испытание для двух мудрецов. Их отведут в разные комнаты и назовут им по натуральному числу от до , при этом их числа будут отличаться либо на , либо на . После этого каждый мудрец пишет на своей карточке какое-то натуральное число, затем король относит карточку первого мудреца второму, а карточку второго — первому. При этом каждый мудрец платит королю количество монет, равное числу на его карточке. Мудрецы справятся с испытанием, если каждый, получив карточку от другого, сможет назвать число, которое назвали другому мудрецу. Они могут договориться о стратегии перед испытанием, зная его правила, но не зная чисел, которые им назовут. Какое наименьшее суммарное количество монет им придётся потратить для гарантированного прохождения испытания?
Ответ. монеты.
Решение. Для начала покажем, как мудрецам справиться, используя не более монет.
Расставим числа по кругу в следующем порядке: . Заметим, что два числа являются соседними тогда и только тогда, когда они отличаются на или , а значит, каждый мудрец, зная своё число, должен угадать, какое из двух соседних получил его напарник.
Покрасим числа и в красный цвет, а остальные — в синий. Нетрудно заметить, что у каждого числа одно число из соседних — красное, а другое — синее. Тогда каждый мудрец может послать другому карточку с числом , если его число красное, и с числом , если оно синее: этой информации хватит для однозначного определения числа.
Теперь предположим, что есть стратегия, при которой хватит монет. Если это так, каждый мудрец пишет либо , либо , причём оба мудреца не могут одновременно написать . Тогда если один из мудрецов отправляет другому число , он может быть уверен, что другой отправит ему , а значит, может узнать число другого мудреца самостоятельно. Однако выше было показано, что для любого числа от до найдётся ровно два числа из этого же диапазона, отличающихся от него на или , а значит, без дополнительной информации найти число другого мудреца не получится. Значит, такой стратегии нет, и монет мудрецам может не хватить
Верное решение.
Логика рассуждений и построения оценки и примера верная, но получен неверный ответ из-за включения 0 в множество натуральных чисел.
Приведена верная стратегия, но вывод о минимальной цене сделан неверно.
Присутствуют попытки описания стратегии.
Присутствует вывод о минимальной цене, но нет стратегии.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.