Высшая проба 2025, 8 класс, задача 1
( баллов) Натуральные числа от до выписаны в строку по порядку. Сколько раз в этой последовательности цифр встречается комбинация из четырёх подряд идущих цифр (именно в таком порядке)?
Ответ. .
Решение. Каждая комбинация цифр может быть получена двумя способами — либо в составе одного числа, либо на стыке двух различных чисел (очевидно, эти способы взаимоисключающие).
Первый способ реализуется числами вида , которых в нашем случае , и , которых . Пересечений между ними нет, поэтому первый способ даёт чисел.
Второй способ реализуется парами последовательных чисел, где первое число оканчивается на , а второе начинается на , и парами последовательных чисел, где первое оканчивается на , а второе начинается на (очевидно, эти случаи также взаимоисключающие). В каждом из случаев ни одно из чисел не оканчивается на , поэтому оба числа пары начинаются на одни и те же цифры в обоих случаях. Последовательные числа с условием должны иметь не менее четырёх знаков. Четырёхзначной парой является только . Среди пятизначных подходят только числа вида , которых . Наконец, остался вариант — ему удовлетворяет только пара четырёхзначных чисел , так как знаков в таких числах должно быть не менее четырёх, но такие числа с пятью и более знаками превосходят . Таким образом, мы получаем .
Верное решение.
Неверно посчитано количество чисел в одном из разбиений.
Не учитывается один из случаев расположения цифр (неполный перебор).
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.