Высшая проба 2026, 9 класс, задача 4
( баллов) В цирке работают силачей, у которых есть разных гирь. Каждый силач может поднять любую гирю не тяжелее определённого веса (и для каждого силача этот вес свой). Для номера нужно каждому силачу выдать по гире, которую он сможет поднять. Могло ли оказаться так, что есть ровно способов осуществить требуемое?
Ответ. Не могло.
Решение. Пронумеруем силачей в порядке возрастания их силы. Пусть первый силач может поднять самых легких гирь, второй - самых легких гирь, и так далее.
Начнем раздавать гири силачам, начиная с первого. Легко видеть, что первому силачу можно выдать гирю способами. Второй силач может поднять все гири, которые может поднять первый, а значит, вне зависимости от того, какую гирю мы дали первому силачу, есть способов выдать гирю второму силачу. Для остальных силачей будем рассуждать таким же образом: -тому силачу можно выдать гирю способами. Если в какой-то момент это число оказалось равным нулю или отрицательным, то гири раздать не получится, так как первых силачей могут поднять самых легких гирь, а значит, кому-то из них точно достанется гиря, которую он поднять не может.
Если же гири раздать удастся, то будет ровно способов это сделать. Заметим, что , а также что для любого верно , то есть, каждый следующий член вышеуказанного произведения не более, чем на меньше предыдущего. Заметим, что кратно , а значит, равно для некоторого . Но тогда в произведении должны встретиться все меньшие натуральные числа, в том числе и . Но не делится на , поэтому ситуация, в которой существует ровно способов раздать гири, невозможна
Верное решение.
Силы силачей и веса гирь упорядочены по возрастанию, количество способов подсчитано через произведение a_1·(a_2−1)·...·(a_10−9), доказано, что каждый член произведения если и меньше предыдущего, то не более чем на 1, и замечено, что обязательно a_k−=7 для некоторого, но дальнейший вывод отсутствует.
Как в предыдущем критерии, но нет замечания о том, что a_k−=7, других продвижений нет.
В верном решении не доказано, что каждый член произведения если и меньше предыдущего, то не более чем на 1.
Присутствует обоснованная идея подсчёта способов путём упорядочивания сил по возрастанию и вычисление произведения a_1·(a_2−1)·...·(a_10−9), других продвижений нет.