(15 баллов) Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?
Очень сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 11 класс, задача 2
(15 баллов) Различные действительные числа x, y, z таковы, что среди трёх чисел (x+y/x2+xy+y2), (y+z/y2+yz+z2), (z+x/z2+zx+x2) какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?
Очень сложная
Выражения и преобразования
Высшая проба 2023, 11 класс, задача 3
(15 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что 1 le a < b < c le 3000. Найдите наибольшее возможное значение величины НОД(a,b) + НОД(b,c) + НОД(c,a).
Очень сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 11 класс, задача 4
(15 баллов) В окружность ω вписан треугольник ABC такой, что AB < BC. Биссектриса внешнего угла B пересекает ω в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC, AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично пересекает ω в точке X. Докажите, что
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2023, 11 класс, задача 5
(20 баллов) Дана клетчатая доска 100 × 100. Каждая клетка доски покрашена в один из двух цветов: белый или чёрный. Назовём раскраску доски уравновешенной, если в каждой строке и в каждом столбце 50 белых и 50 чёрных клеток. За одну операцию разрешается выбрать две строки и два столбца так, чтобы из
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 11 класс, задача 6
(20 баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел може
(15 баллов) Существуют ли многочлены P(x), Q(x) и R(x) с действительными коэффициентами такие, что многочлены P(x) · Q(x), Q(x) · R(x) и P(x) · R(x) имеют одинаковую степень, а многочлены P(x) + Q(x), P(x) + R(x) и Q(x) + R(x) имеют попарно различные степени? (Считаем, что нулевой многочлен степени
Очень сложная
Выражения и преобразования
Высшая проба 2023, 10 класс, задача 2
(15 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC. На стороне CD нашлась точка N такая, что angle DNB = 90circ. Докажите, что AD + NC = DN.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2023, 10 класс, задача 3
(15 баллов) Для действительных чисел x>2 и y>2 докажите, что (x2-x/y2+y) +(y2-y/x2+x) >(2/3).
Очень сложная
Неравенства
Высшая проба 2023, 10 класс, задача 4
(15 баллов) Однажды 45 друзей, живущих в разных уголках земного шара, захотели обменяться друг с другом новостями. Для этого они собираются устроить k видеовстреч, на каждой из которых каждый человек расскажет всем свои новости, а также все новости других людей, которые он узнал ранее. Для видеовстр
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 10 класс, задача 5
(20 баллов) Найдите все составные натуральные числа n, обладающие следующим свойством: каждый натуральный делитель числа n (в частности, само n), уменьшенный на 1, является квадратом целого числа.
Очень сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 10 класс, задача 6
(20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.
(15 баллов) Артём, Боря, Вадим и Гриша вернулись из леса, в котором они собирали грибы. Если бы Артём собрал в 2 раза меньше, а Боря в 2 раза больше, то у них в сумме было бы столько же, сколько у Вадима и Гриши вместе. А если бы Вадим собрал в 2 раза меньше, а Гриша в 2 раза больше, то у них в сумм
Сложная
Уравнения
Высшая проба 2023, 9 класс, задача 2
(15 баллов) Существует ли 1000-значное натуральное число, состоящее из ненулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 9 класс, задача 3
(15 баллов) В кафе цены за обед определяются в рублях согласно следующей таблице цен: | набор | цена | | --- | ---: | | суп | 200 | | салат | 200 | | второе | 250 | | суп + салат | 300 | | суп + второе | 350 | | салат + второе | 350 | | суп + салат + второе | 500 | Например, только за салат надо зап
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 9 класс, задача 4
(15 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. На сторонах AB и BC нашлись точки N и M соответственно такие, что angle BAC=angle NOA и angle BCA=angle MOC. Точка K— центр описанной окружности треугольника MBN. Докажите, что AK = CK.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5
(20 баллов) Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+b=(9/c-d) и c+d=(25/a-b). Какое наименьшее значение может принимать величина a2+b2+c2+d2?
Сложная
Неравенства
Высшая проба 2023, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Было n внешне одинаковых монет, которые весят x1,x2,ldots,xn граммов (веса монет - попарно различные положительные действительные числа), а также невесомые наклейки с числами x1,x2,ldots,xn. Ночью лаборант взвесил монеты и
(15 баллов) В клетчатом квадрате 5 × 5 каждую клетку покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Справа от каждой строки записали суммарное количество синих и красных клеток в этой строчке, а под каждым столбцом записали суммарное количество синих и зелёных клеток в этом столбце. Сп
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 8 класс, задача 2
(15 баллов) Действительные числа x1,x2,x3,x4 таковы, что Какое наименьшее значение может принимать сумма x1+x2+x3+x4?
Сложная
Неравенства
Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3
(15 баллов) За один ход можно выбрать натуральное число x и вычеркнуть все натуральные числа y такие, что |x - y| — натуральное составное число. При этом в качестве x можно выбирать уже вычеркнутые числа. Какое наименьшее количество ходов понадобится, чтобы вычеркнуть из натурального ряда все числа?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 8 класс, задача 4
(15 баллов) В классе учится поровну мальчиков и девочек. Назовём непустую группу мальчиков популярной, если каждая девочка в классе дружит хотя бы с одним мальчиком из этой группы (все дружбы взаимны). Оказалось, что в классе ровно 63 популярные группы. Докажите, что каждый мальчик дружит хотя бы с
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 8 класс, задача 5
(20 баллов) Треугольник ABC таков, что BC < AC < AB. Точка M — середина стороны AC. На стороне AB нашлась точка K такая, что CK = BC и BK = AC. Докажите, что angle BAC = 2angle ABM.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2023, 8 класс, задача 6
(20 баллов) На столе лежит 55 кучек конфет. В одной кучке лежит 1 конфета, в другой — две, в третьей — 3,..., в последней — 55. Петя и Вася играют в следующую игру, делая ходы по очереди; начинает Петя. За один ход игрок берёт одну конфету из любой кучки. Если игрок забрал из кучки последнюю конфету
(15 баллов) Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся 97531, а при вычёркивании всех нечётных цифр — 02468.
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2
(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90circ, angle BLK=90circ и KM=KL. Чему равен угол CML?
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2023, 7 класс, задача 3
(15 баллов) На складе стоят несколько ящиков. Известно, что ящиков не более 60, и в каждом из них находятся либо 59 яблок, либо 60 апельсинов. После того, как на склад принесли коробку с некоторым количеством апельсинов, фруктов на складе стало поровну. Какое наименьшее количество апельсинов могло б
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 7 класс, задача 4
(15 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 100 жителей этого острова выстроились в ряд, и каждый из них сказал одну из следующих фраз: • «Слева от меня лжецов столько же, сколько и рыцарей.» • «Слева от меня лжецов на 1 больше, чем рыцар
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2023, 7 класс, задача 5
(20 баллов) Андрей выписал на доску 6 последовательных четырёхзначных чисел в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр исходные 6 чисел и пригласил в класс
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2023, 7 класс, задача 6
(20 баллов) На столе по кругу лежат n монет, пронумерованных числами от 0 до n-1 в некотором порядке. За одну операцию разрешается взять какую-то монету с номером k и переместить её на k позиций в произвольном направлении, сместив при этом промежуточные монеты (например, операция над монетой с номер
