Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 1

(15 баллов) Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 2

(15 баллов) Различные действительные числа x, y, z таковы, что среди трёх чисел (x+y/x²+xy+y²), (y+z/y²+yz+z²), (z+x/z²+zx+x²) какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 3

(15 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что 1 le a < b < c le 3000. Найдите наибольшее возможное значение величины НОД(a,b) + НОД(b,c) + НОД(c,a).

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 4

(15 баллов) В окружность ω вписан треугольник ABC такой, что AB < BC. Биссектриса внешнего угла B пересекает ω в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC, AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично пересекает ω в точке X. Докажите, что

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 5

(20 баллов) Дана клетчатая доска 100 × 100. Каждая клетка доски покрашена в один из двух цветов: белый или чёрный. Назовём раскраску доски уравновешенной, если в каждой строке и в каждом столбце 50 белых и 50 чёрных клеток. За одну операцию разрешается выбрать две строки и два столбца так, чтобы из

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 6

(20 баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел може

Очень сложная

Выражения и преобразования

10 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 1

(15 баллов) Существуют ли многочлены P(x), Q(x) и R(x) с действительными коэффициентами такие, что многочлены P(x) · Q(x), Q(x) · R(x) и P(x) · R(x) имеют одинаковую степень, а многочлены P(x) + Q(x), P(x) + R(x) и Q(x) + R(x) имеют попарно различные степени? (Считаем, что нулевой многочлен степени

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 2

(15 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC. На стороне CD нашлась точка N такая, что angle DNB = 90^circ. Докажите, что AD + NC = DN.

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 3

(15 баллов) Для действительных чисел x>2 и y>2 докажите, что (x²-x/y²+y) +(y²-y/x²+x) >(2/3).

Очень сложная

Неравенства

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 4

(15 баллов) Однажды 45 друзей, живущих в разных уголках земного шара, захотели обменяться друг с другом новостями. Для этого они собираются устроить k видеовстреч, на каждой из которых каждый человек расскажет всем свои новости, а также все новости других людей, которые он узнал ранее. Для видеовстр

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 5

(20 баллов) Найдите все составные натуральные числа n, обладающие следующим свойством: каждый натуральный делитель числа n (в частности, само n), уменьшенный на 1, является квадратом целого числа.

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 6

(20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.

Очень сложная

Планиметрия

9 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 1

(15 баллов) Артём, Боря, Вадим и Гриша вернулись из леса, в котором они собирали грибы. Если бы Артём собрал в 2 раза меньше, а Боря в 2 раза больше, то у них в сумме было бы столько же, сколько у Вадима и Гриши вместе. А если бы Вадим собрал в 2 раза меньше, а Гриша в 2 раза больше, то у них в сумм

Сложная

Уравнения

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 2

(15 баллов) Существует ли 1000-значное натуральное число, состоящее из ненулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 3

(15 баллов) В кафе цены за обед определяются в рублях согласно следующей таблице цен: | набор | цена | | --- | ---: | | суп | 200 | | салат | 200 | | второе | 250 | | суп + салат | 300 | | суп + второе | 350 | | салат + второе | 350 | | суп + салат + второе | 500 | Например, только за салат надо зап

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 4

(15 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. На сторонах AB и BC нашлись точки N и M соответственно такие, что angle BAC=angle NOA и angle BCA=angle MOC. Точка K— центр описанной окружности треугольника MBN. Докажите, что AK = CK.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+b=(9/c-d) и c+d=(25/a-b). Какое наименьшее значение может принимать величина a²+b²+c²+d²?

Сложная

Неравенства

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Было n внешне одинаковых монет, которые весят x₁,x₂,ldots,x_n граммов (веса монет - попарно различные положительные действительные числа), а также невесомые наклейки с числами x₁,x₂,ldots,x_n. Ночью лаборант взвесил монеты и

Сложная

Комбинаторика

8 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 1

(15 баллов) В клетчатом квадрате 5 × 5 каждую клетку покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Справа от каждой строки записали суммарное количество синих и красных клеток в этой строчке, а под каждым столбцом записали суммарное количество синих и зелёных клеток в этом столбце. Сп

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 2

(15 баллов) Действительные числа x₁,x₂,x₃,x₄ таковы, что Какое наименьшее значение может принимать сумма x₁+x₂+x₃+x₄?

Сложная

Неравенства

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3

(15 баллов) За один ход можно выбрать натуральное число x и вычеркнуть все натуральные числа y такие, что |x - y| — натуральное составное число. При этом в качестве x можно выбирать уже вычеркнутые числа. Какое наименьшее количество ходов понадобится, чтобы вычеркнуть из натурального ряда все числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 4

(15 баллов) В классе учится поровну мальчиков и девочек. Назовём непустую группу мальчиков популярной, если каждая девочка в классе дружит хотя бы с одним мальчиком из этой группы (все дружбы взаимны). Оказалось, что в классе ровно 63 популярные группы. Докажите, что каждый мальчик дружит хотя бы с

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Треугольник ABC таков, что BC < AC < AB. Точка M — середина стороны AC. На стороне AB нашлась точка K такая, что CK = BC и BK = AC. Докажите, что angle BAC = 2angle ABM.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 6

(20 баллов) На столе лежит 55 кучек конфет. В одной кучке лежит 1 конфета, в другой — две, в третьей — 3,..., в последней — 55. Петя и Вася играют в следующую игру, делая ходы по очереди; начинает Петя. За один ход игрок берёт одну конфету из любой кучки. Если игрок забрал из кучки последнюю конфету

Сложная

Комбинаторика

7 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 1

(15 баллов) Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся 97531, а при вычёркивании всех нечётных цифр — 02468.

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90^circ, angle BLK=90^circ и KM=KL. Чему равен угол CML?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 3

(15 баллов) На складе стоят несколько ящиков. Известно, что ящиков не более 60, и в каждом из них находятся либо 59 яблок, либо 60 апельсинов. После того, как на склад принесли коробку с некоторым количеством апельсинов, фруктов на складе стало поровну. Какое наименьшее количество апельсинов могло б

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 4

(15 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 100 жителей этого острова выстроились в ряд, и каждый из них сказал одну из следующих фраз: • «Слева от меня лжецов столько же, сколько и рыцарей.» • «Слева от меня лжецов на 1 больше, чем рыцар

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 5

(20 баллов) Андрей выписал на доску 6 последовательных четырёхзначных чисел в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр исходные 6 чисел и пригласил в класс

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 6

(20 баллов) На столе по кругу лежат n монет, пронумерованных числами от 0 до n-1 в некотором порядке. За одну операцию разрешается взять какую-то монету с номером k и переместить её на k позиций в произвольном направлении, сместив при этом промежуточные монеты (например, операция над монетой с номер

Сложная

Комбинаторика