Высшая проба 2023, 8 класс, задача 5
( баллов) Треугольник таков, что . Точка — середина стороны . На стороне нашлась точка такая, что и . Докажите, что .
Ответ
Решение. Продлим отрезок за точку на его длину и отметим точку (рис. ).
В четырёхугольнике диагонали пересекаются в своих серединах, поэтому он параллелограмм. Получаем и ; а используя равнобедренность треугольника , находим и . Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, то есть и . Осталось доказать, что , то есть что — биссектриса угла . Мы уже знаем, что — медиана в треугольнике , а из получаем, что этот треугольник равнобедренный, откуда и следует требуемое.