Высшая проба 2026, 10 класс, задача 2
(13 баллов) На окружности отмечено синих точек. Известно, что каждая из них является вершиной равнобедренного треугольника, остальные вершины которого тоже синие. Могло ли оказаться так, что общее количество равнобедренных треугольников с синими вершинами составляет ровно ?
Ответ. Могло.
Решение. Покажем, что такое возможно. Приведем несколько возможных примеров.
Пример . Вначале докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть на окружности отмечены два конечных множества точек. Тогда можно повернуть одно множество относительно другого так, чтобы не осталось равнобедренных треугольников, вершины которых лежат в разных множествах.
Доказательство леммы. Зафиксируем одно из этих множеств и затем отметим зеленым цветом все точки, в которых могли бы быть вершины равнобедренных треугольников, ровно две вершины которых принадлежат этому множеству. Таких точек конечное множество, поэтому зеленых точек в совокупности с точками первого множества тоже конечно - это множество обозначим за . Аналогично отметим для второго исходного множества красным цветом точки, в которых могли бы быть вершины равнобедренных треугольников, ровно две вершины которых принадлежат этому множеству. Множество красных точек в совокупности с точками второго исходного множества назовем . Будем вращать множество по окружности и отметим все моменты, когда первая точка из совпала с каждой из точек из , вторая точка из совпала с каждой из точек , и т. д. последняя точка из совпала с каждой из точек (на самом деле, достаточно отслеживать лишь моменты, в которых зеленые точки из совпадали с некрасными точками из , и моменты, в которых красные точки из совпадали с незелеными точками из ). Таких моментов будет конечное число, так как всего пар точек , конечно. Но возможных поворотов бесконечно много, поэтому будут повороты, в которых никакие точки из и повернутого не совпали. Лемма доказана.
Из леммы индуктивно следует, что, выбирая подходящие повороты, можно разместить любой конечный набор конечных множеств на окружности так, чтобы не было равнобедренных треугольников с вершинами из разных множеств. Будем строить пример с помощью правильных многоугольников, пошагово добавляя точки новых правильных многоугольников на окружность, каждый раз выбирая нужный поворот, который, как следует из леммы, всегда существует. Как известно, в правильном -угольнике ровно равнобедренных треугольников с вершинами в его вершинах, если не кратно , и , если кратно . Возьмем правильных -угольника, что даст синих точек и ровно равнобедренных треугольников. Далее возьмем правильный -угольник, который даст равнобедренных треугольников. Останется точек, которые мы поместим в вершины правильного шестиугольника, который дает равнобедренных треугольников. Итого мы имеем ровно равнобедренных треугольников на отмеченных синих точках. Очевидно, что каждая из них является вершиной некоторого равнобедренного треугольника с синими вершинами.
Пример . Возьмем правильных -угольников и правильных -угольников. Тогда будет вершин и равнобедренных треугольников
Приведён подходящий пример и доказана его корректность.
Объяснено, как нужно поворачивать конечные множества, чтобы избавиться от «перекрёстных» равнобедренных треугольников.
Присутствует идея построения примера с использованием правильных многоугольников с общим числом вершин, но пример неверный.
Приведена и доказана формула нахождения количества равнобедренных треугольников в вершинах данного правильного-угольника.
Приведён пример наравнобедренных треугольников.
В примере есть точки, которые не являются вершинами никакого равнобедренного треугольника.