Высшая проба 2025, 9 класс, задача 2
( баллов) Можно ли заполнить квадратную таблицу действительными числами таким образом, чтобы в каждом квадрате сумма чисел была не меньше , а в каждом прямоугольнике (горизонтальном или вертикальном) сумма чисел не превосходила ?
Ответ
Ответ. Нельзя.
Решение. Предположим, что нам удалось заполнить таблицу требуемым образом. Рассмотрим квадрат размера . Каждый такой квадрат, с одной стороны, может быть разрезан на четыре квадрата , с другой стороны, он же может быть разрезан на четыре прямоугольника (два горизонтальных, два вертикальных) и центральный квадратик (см. рис.).
Возьмем произвольный квадрат . По предположению, сумма чисел в нем не меньше, чем , при этом сумма чисел в четырех прямоугольниках не больше , поэтому сумма чисел в квадратике не меньше . Теперь возьмем квадрат , левый верхний угол которого совпадает с левым верхним углом всей таблицы, и рассмотрим квадратов , каждый из которых получен сдвигом рассматриваемого квадрата на клеточек вправо и клеточек вниз, где , — целые числа. Тогда центральные квадратики всех таких квадратов образуют прямоугольник , в котором сумма чисел не меньше , что противоречит предположению.
![Центральные квадратики ](https://media.solvehub.app/0eef8c47-845c-43e3-99af-222774a9d1ef.png