Высшая проба 2023, 9 класс, задача 3
( баллов) В кафе цены за обед определяются в рублях согласно следующей таблице цен:
| набор | цена |
|---|---|
| суп | |
| салат | |
| второе | |
| суп + салат | |
| суп + второе | |
| салат + второе | |
| суп + салат + второе |
Например, только за салат надо заплатить рублей, а за суп + второе - рублей. В это кафе пришла группа туристов, которым в сумме требуется вторых блюд, салатов и супов. За какую наименьшую плату можно накормить группу?
Ответ: рублей.
Решение. Во-первых, отметим, что покупать лишние блюда (которые не будут съедены) в любом случае бессмысленно: если, например, остался лишний суп, то из набора, в который входил этот суп, можно было бы его исключить и заплатить меньше. Теперь заметим, что вторых требуется больше, чем суммарно супов и салатов. Это означает, что нам обязательно придётся покупать некоторые вторые по отдельности (наборов, в которые входят супы или салаты, не больше ). Предположим, что мы взяли хотя бы один набор суп + салат. Но этот набор и отдельное второе (которое точно присутствует) можно было бы заменить на набор из всех трёх блюд, сэкономив на этом рублей. Предположим, что мы взяли хотя бы один набор из всех трёх блюд. Но тогда его и отдельное второе можно заменить на наборы второе + суп и второе + салат, сэкономив на этом рублей. Кроме того, отдельные супы или салаты можно совмещать с отдельными вторыми и экономить на этом рублей. Таким образом, в оптимальном способе выбора могут встречаться только наборы суп + второе, салат + второе и просто второе. Отсюда однозначно восстанавливается, что наборов первого типа должно быть , второго типа — , а третьего — . Их общая стоимость составляет рублей.
Другое решение. Заметим, что выгода при покупке любого набора из двух блюд составляет рублей (по сравнению с покупкой этих блюд по отдельности). Можно считать, что
каждое блюдо, купленное в «двойном» наборе, покупается со скидкой рублей. Заметим также, что выгода при покупке набора из трех блюд составляет рублей. Можно считать, что каждое блюдо, купленное в «тройном» наборе, также покупается со скидкой рублей. Итак, можно считать, что каждое блюдо, купленное в наборе, на рублей дешевле, чем то же блюдо, купленное отдельно. Поэтому суммарная плата равна , где — общее число блюд, попавших в наборы (здесь мы, как и в первом решении, пользуемся тем, что лишних блюд нет). Заметим, что общее число блюд , и хотя бы вторых блюд придется купить отдельно. Поэтому и . Оценка достигается при покупке наборов «суп + второе», наборов «салат + второе» и вторых блюд отдельно
Баллы за оценку и пример суммируются.
+10 б. Оценка — доказано, что общая стоимость не может оказаться меньше 17 000 рублей.
В отсутствие такого доказательства используется наибольший подходящий критерий.
+7 б. В решении доказано, что оптимальном примере нет тройных обедов, но доказа- тельство оценки не доведено (например, не доказано, что нет пары суп+салат).
+5 б. Замечено, что если блюдо идет в (любом) наборе, то на него скидка 50 рублей.
+2 б. Рассматривается функция «выгоды» в зависимости от количества тройных обе- дов (в предположении, что все наборы содержат второе). Замечено, но не до- казано, что эта функция (линейно) убывает.
+2 б. В решении доказано, что в оптимальном примере тройных обедов не более одного.
+5 б. Пример — продемонстрировано, что есть ситуация, в которой стоимость достигает 17 000 рублей, и эта величина верно вычислена.
В отсутствие такого примера используется наибольший подходящий критерий.
+4 б. Решение содержит описание верного примера, но ответ посчитан неправильно или не посчитан.
+2 б. Приведен верный ответ. # hse-vp-2023-final-g9 / solutions / page 5 ## Best Text.