Высшая проба 2021, 7 класс, задача 6
( баллов) Некоторые клетки квадрата на покрашены в чёрный цвет так, что в каждом прямоугольнике из шести клеток ровно две чёрные. Сколько всего клеток в квадрате покрашено? Дайте полный и обоснованный ответ на этот вопрос.
Ответ:
Комментарий: достаточно рассматривать прямоугольники
Решение:
Назовем нижний левый квадрат . Пример на черных клеток: покрашены в черный цвет все клетки , такие что делится на .
Рассмотрим квадрат без клеток . Получившуюся фигуру можно замостить тринадцатью прямоугольниками , в которых будет черных клеток. Ясно, что выброшенные клетки не могут быть все черные, так как они содержатся в прямоугольнике .
Предположим, что среди клеток нет черных клеток. Квадрат без клеток тоже можно замостить прямоугольниками , поэтому среди нет черных клеток. Аналогичное рассуждение показывает, что среди нет черных клеток. Но тогда в прямоугольнике из клеток мы нашли белых клеток. Противоречие.
Теперь предположим, что среди клеток две черные. Тогда всего в квадрате всего черных клеток. Следуя ранее приведенному аргументу, получим, что в полосках , , также по две черные клетки.
Среди клеток все белые, так как эта полоска вместе с полоской составляет прямоугольник , в котором всего черные клетки. Используя этот аргумент получаем, что клетки покрашены, как на рисунке, в которой опять же можно найти прямоугольник с пятью белыми клетками, что приводит к противоречию.
Значит среди клеток всего одна черная клетка, что соответствует примеру на черных клеток
Правильное решение.
Доказано, что если раскраска, удовлетворяющая условию, существует, то в ней 27 черных клеток, но не доказано существование (не приведен пример).
Правильно доказано, что не может быть двух чёрных клеток рядом.
Только правильный ответ и пример.