1. Олимпиады
  2. Высшая проба

Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 1

(17 баллов) Для действительного числа α∈(0,1) рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел mi, для которых {miα}<α. Может ли для какого-то α соответствующая последовательность начинаться с а) 2021;4041;6062? б) 2021;4042;6062;8082?
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 2

(20 баллов) В последовательности чисел 20;21;22;ldots некоторые члены умножили на -1, причем известно, что осталось бесконечно много положительных членов. Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы нескольких различных членов полученной последоват
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 3

(26 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если а) n=84? б) n=86?
Очень сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 4

(23 баллов) В угол AOC вписаны окружности Omega1 и Omega2 (радиус Omega1 больше). Omega1 касается сторон угла в точках A и B, а Omega2 – в точках D и C соответственно. Точка M – середина отрезка BC. Прямые MA и MD вторично пересекают Omega1 и Omega2 соответственно в точках X и Y. Прямые BX и CY пере
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 5

(28 баллов) Дана пара взаимно-простых многочленов с действительными коэффициентами P(x) и Q(x) степеней 2021 и 2000 соответственно (взаимно-простые означает, что не существует многочлена R(x), не равного константе, на который делятся P(x) и Q(x)). Гриша выбирает конечное множество действительных чис
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 6

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 7

(34 баллов) Для таблички n×n рассматриваем семейство квадратов 2×2, состоящих из клеток таблицы, и обладающее свойством: для любого квадрата семейства найдется покрытая им клетка, не покрытая никаким другим квадратом из семейства. Через f(n) обозначим максимальное количество квадратов в таком семейс
Очень сложная
Комбинаторика

10 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 1

(14 баллов) Через langle xrangle обозначим ближайшее к x целое число (условимся, что langle n+frac12rangle=n при целом n). Положим bk=k+langle√krangle. Выпишем все натуральные числа, не встречающиеся в последовательности b1,b2,b3,ldots в порядке возрастани
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 2

(17 баллов) Число x1 случайным образом выбирается на отрезке [0,2] (вероятность того, что x1 попадет в заданный интервал на отрезке [0,2], пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность xn, такая, что xn+1=3|xn-1|-1, n
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 3

(28 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если а) n=404? б) n=406?
Очень сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 4

(23 баллов) Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω. Точки M, N лежат на сторонах AD, CD соответственно. Прямые, проходящие через M, N и параллельные соответственно AB, BC, пересекаются в точке P, лежащей внутри четырехугольника ABCD; а прямая BP повторно пересекает ω в точке Q, лежащей на дуге C
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 5

(30 баллов) Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q1 и остаток r1. Затем, на i-ом шаге (i=2,3,ldots) он делит с остатком число overline{ri-1qi-1} на 202, получая неполное
Очень сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 7

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины
Очень сложная
Планиметрия

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 1

(14 баллов) Через langle xrangle обозначим ближайшее к x целое число (условимся, что langle n+frac12rangle=n при целом n). Положим bk=k+langle√krangle. Выпишем все натуральные числа, не встречающиеся в последовательности b1,b2,b3,ldots в порядке возрастани
Сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 2

(17 баллов) Число x1 случайным образом выбирается на отрезке [0,2] (вероятность того, что x1 попадет в заданный интервал на отрезке [0,2], пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность xn, такая, что xn+1=3|xn-1|-1, n
Сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 3

(28 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если а) n=404? б) n=406?
Сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 4

(23 баллов) Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω. Точки M, N лежат на сторонах AD, CD соответственно. Прямые, проходящие через M, N и параллельные соответственно AB, BC, пересекаются в точке P, лежащей внутри четырехугольника ABCD; а прямая BP повторно пересекает ω в точке Q, лежащей на дуге C
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 5

(30 баллов) Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q1 и остаток r1. Затем, на i-ом шаге (i=2,3,ldots) он делит с остатком число overline{ri-1qi-1} на 202, получая неполное
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 7

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины
Сложная
Планиметрия

8 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 1

(15 баллов) Вася прибавил к числителю и знаменателю правильной дроби одно и то же натуральное число, меньшее, как числителя, так и знаменателя. В результате дробь увеличилась более, чем на 50%. Вася утверждает, что, если он отнимет это число от числителя и знаменателя исходной дроби, то дробь уменьш
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 2

(15 баллов) В коробке лежат шарики двух цветов: синего и красног о (оба цвета присутствуют). Известно, что синих шариков больше, а два шарика одного цвета можно вынуть с той же вероятностью, что и два шарика разных цветов. Чему может быть равна разность между числом синих и красных шариков? Дайте по
Сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 3

(15 баллов) В ряд расставлены 2020 натуральных чисел так, что среди любых шести чисел, идущих подряд, первое число нацело делится на последнее, и среди любых девяти чисел, идущих подряд, последнее число нацело делится на первое. Докажите, что сумма первых ста чисел нацело делится на сумму последних
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 4

(15 баллов) Найдите все четвёрки натуральных чисел a, b, c, d, для которых выполнены равенства
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 5

(15 баллов) В треугольнике ABC угол B равен 80circ. На стороне BC отмечена точка D такая, что AB=AD=CD; на стороне AB отмечена точка F такая, что AF=BD. На отрезке AC отмечена точка E такая, что AB=AE. Найдите угол AEF. Рисунок к условию задачи 5
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 6

(25 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если: а) n=404? б) n=406?
Сложная
Комбинаторика

7 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 1

(15 баллов) В трёх коробках лежат шарики. В первой – красные, во второй – белые, в третьей лежат шарики и красного, и белого цвета. На каждой коробке сделан надпись «красные», «белые», «смешанные», но известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Семиклассник Сергей хочет узна
Сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 2

(15 баллов) На доске написано положительное число, с которым разрешается делать следующие операции: 1) умножать на два; 2) прибавлять один. Каждый из трёх школьников один раз применил к имеющемуся числу первую операцию и два раза вторую операцию в некотором порядке. При этом все три числа оказались
Сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 3

(15 баллов) В прямоугольном треугольнике KLM проведены биссектрисы KE и LF, пересекающиеся в точке O. Прямая, делящая на две равные части угол EOL, отсекает от исходного треугольника равнобедренный. Найдите острые углы треугольника KLM.
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 4

(15 баллов) Собственным делителем числа называется любой делитель, отличный от 1 и самого числа. Найдите число способов, которыми можно раскрасить в три цвета числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так чтобы цвет каждого числа отличался от цвета л юбого его собственного делителя. Не забудьте объяснить предлож
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 5

(15 баллов) Найдите все четвёрки натуральных чисел a, b, c, d, для которых выполнены равенства
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 6

(25 баллов) Некоторые клетки квадрата 9 на 9 покрашены в чёрный цвет так, что в каждом прямоугольнике из шести клеток ровно две чёрные. Сколько всего клеток в квадрате покрашено? Дайте полный и обоснованный ответ на этот вопрос.
Сложная
Планиметрия