Высшая проба 2021, 8 класс, задача 4

( баллов) Найдите все четвёрки натуральных чисел , , , , для которых выполнены равенства

Ответ

Ответ: , , , , , , , , .

Решение.

Из системы

получаем

Каждое из чисел и является неотрицательным целым. Если они равны и , то . Если они равны и , то , откуда , а . Из равенства получаем . Случай и дает перестановку. Осталось проверить, что все полученные наборы подходят под уравнения системы.

Правильное решение:Не снижаем за потерю части случаев с перестановкамиСчитаем очевидными утверждения вида<ab при,Нет проверки ответа (и односторонние следствия в решении):(+.) Сведено к обозримому количеству случаев (например,доказано,что все числа меньше 6).

Получено равенство ()()+()()=(cd−)+(ab−)+2 =2 или + аналогичное.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2024, 11 класс, задача 1

(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a⁵ + b³, где a и b — натуральные числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2026, 7 класс, задача 5

(20 баллов) В магазине продаются 9 разных чашек трёх цветов (красные, оранжевые, фиолетовые) с тремя узорами (в горошек, в полосочку и в клеточку). Все чашки стоят целое число монет от 1 до 9, причём все цены попарно различны. Известно, что все не красные чашки не в горошек суммарно стоят 25 монет,

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 5

(20 баллов) Андрей выписал на доску 6 последовательных четырёхзначных чисел в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр исходные 6 чисел и пригласил в класс

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2024, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p². Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024.

Сложная

Алгебра

Теория чисел