Высшая проба 2023, 7 класс, задача 5
( баллов) Андрей выписал на доску последовательных четырёхзначных чисел
в строчку в порядке возрастания. Затем он под каждым из этих чисел написал один из его простых
делителей, причём все выписанные простые делители оказались разными. После этого Андрей стёр
исходные чисел и пригласил в класс Бориса. Всегда ли Борис, видя выписанные на доску простые
делители, сможет однозначно определить исходные числа?
Ответ: всегда.
Решение. Обозначим наименьшее из изначально выписанных Андреем чисел через . Тогда следующие числа равны , , , , соответственно. Пусть их выписанные простые делители равны соответственно.
Предположим, что Борис не может однозначно восстановить числа Андрея. Это значит, что у него есть как минимум кандидата на роль . Обозначим другого кандидата через . Тогда и делятся на , откуда делится на . Аналогично и делятся на , откуда делится ещё и на . Продолжая таким образом рассуждения, получим, что делится также и на .
Следовательно, число делится на различных простых чисел, а значит, и на их произведение. Произведение различных простых чисел не меньше, чем . Но разность двух различных четырёхзначных чисел не может делиться на , противоречие.
Используется наибольший подходящий критерий.
20 б. Любое полное решение задачи.
12 б. Утверждается, но не доказывается, что минимальное расстояние между двумя шестёр- ками чисел, удовлетворяющих условию, составляет хотя бы(,,,,). 1 2 3 4 5 # hse-vp-2023-final-g7 / solutions / page 7 ## Best Text.
0 б. Приведён только ответ.