Высшая проба 2021, 11 класс, задача 6
( баллов) – равносторонний треугольник на плоскости, а – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника , но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен . Применить к точке на плоскости операцию – значит, отразить точку симметрично относительно ближайшей вершины треугольника (если ближайших вершин две, выбираем одну из двух произвольным образом). а) Докажите, что любая точка плоскости за конечное число операций попадет в круг . б) Пусть – расстояние от центра до какой -то точки, попадающей в первый раз в круг после ровно операции. Найдите промежуток возможных значений .
Первое решение. Пусть - центр окружности (и описанной окружности треугольника соответственно). Прямые , , и разделят плоскость на частей, которые назовем областями. Пусть эти прямые пересекают окружность в точках , , , и , соответственно ( и на одном луче от , - на другом, для других точек аналогично). Тогда стороны угла являются серединными перпендикулярами к отрезкам и , а значит, для всех точек угла (равного ) и только для них является ближайшей из ; ; . При этом для точек, которые лежат внутри угла , но вне круга , после операции вершина становится ближайшей, а внутри угла - вершина . Для вершин и аналогично.
Рассмотрим, что происходит при применении нескольких операций к точке . Пусть - образ точки , после применения к ней операций. Докажем следующие утверждения:
Утверждение . Если лежит в , то все при - тоже.
Очевидно.
Так что теперь можем без ограничения общности считать, что лежит в угле и вне круга .
Утверждение . Вектор равен удвоенному вектору .
В самом деле, для ближайшая вершина , для - , композиция симметрий относительно потом - параллельный перенос на вектор .
Соответственно, если все точки , , , ... лежат в но не в , то все вектора , , , ... равны .
Утверждение . Пусть - первая из четных точек, не лежащая одновременно в угле и вне круга . Тогда лежит в одной из трех областей: , и .
Очевидно.
Итак, без ограничения общности можно считать, что попала в .
Утверждение . Если - первая из четных точек, попавшая в , то попадет в или , попадет в или и так далее (за каждые два хода точка перескакивает через границу между теми же двумя соседними углами, или запрыгивает в ).
Очевидно.
Итак, если точка когда то за две операции перескочит из угла в соседний - то дальше за каждую пару операций точка перепрыгивает между ровно этими двумя соседними углами, пока не попадет в круг . Докажем, что это рано или поздно произойдет. В самом деле, пусть точка за двойную операцию переходит между и . Тогда она за каждую двойную операцию смещается на вектор или . Оба вектора имеют проекцию на луч , значит рано или поздно проекция точки на будет иметь отрицательную координату, то есть точка покинет углы и . По Утверждению сделать это четная точка может только попав в , что завершает доказательство пункта A.
Набросок решения пункта Б
Как доказано выше, каждому из шести углов, на которые разделена плоскость, сопоставлен свой вектор , такой что квадрат операции для точки, лежащей в данном угле, есть перенос на соответствующий вектор. Тогда множество точек, попадающих в круг не более чем за операций - это множество кругов, получаемых из круга при параллельных переносах на всевозможные линейные комбинации векторов с целыми неотрицательными коэффициентами, сумма которых не больше , и только два циклически соседних коэффициента отличны от нуля. Тогда самый близкий к граничный круг (обозначим его а его центр ) - представляющийся в виде , то есть . Заметим, что для только его дуга размером , отвернутая от , не покрыта остальными кругами, итого самая ближняя к граничная точка такова что , то есть .
По аналогичным соображениям, точки переходящие в за ход - образы кругов радиуса с центрами в точках , , при переносах на ту же систему векторов. Тогда самый далекий от круг (обозначим его а его центр ) получается при переносе на вектор , то есть имеющий длину . Поскольку образует угол в с имеем . Точка на границе круга еще на дальше, итого ответ .
Набросок альтернативного решения. Нарисуем на плоскости треугольную решетку, так чтобы вершинами одного из треугольников были точки , , (в обозначениях основного решения). Присвоим этому треугольнику метку , далее по индукции присвоим метки всем треугольникам: каждый еще не помеченный треугольник, соседний по стороне с треугольником с меткой , получит метку . Тогда несложно доказать, что при применении операции точки из треугольника с меткой переходят в какой-то из треугольников с меткой (а точки из треугольника с меткой - в треугольники с меткой ). Тогда множество точек, не более чем за операций переходящих в круг - объединение кругов, описанных вокруг всех треугольников с метками не больше . Итак, мы получили альтернативное описание того же объединения кругов, что и в основном пути решения, осталось сделать тот же подсчет
A1 исуммируются так:+=.
B1 Утверждение без доказательства, что для достижения минимума расстояния точка должна двигаться “зигзагом” (правильно сказано, каким именно).
B1 Если к тому же получен верный ответ.