Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2020, 11 класс

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 2

( баллов) Дан описанный четырехугольник , у которого радиусы вписанных окружностей треугольников и равны. Найдите угол между диагоналями и .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Докажем, что точки касания вписанных окружностей треугольников и с диагональю совпадают.

В самом деле, обозначим точки касания и соответственно. Тогда

Критерий описанности четырехугольника , это равенство равносильно .

Теперь легко видеть, что картинка однозначно задается радиусом вписанных окружностей треугольников и и расстояниями от точки касания до точек и . Значит картинка переходит в себя при симметрии относительно прямой , при этом точки и меняются местами. Но это означает, что перпендикулярна , итак ответ .

1

− задача решалась исходя из неверного понимания условия (например, что четырехуголь- никвписанный вместо описанного),.

-
2

− решенлюбойчастныйслучай,напримеркогдадиагональBD являетсябиссектрисойугла четырехугольника,.

-
3

∓ задачарешенапридополнительномпредположении,чтоточкикасаниявписанныхокруж- ностей треугольниковис диагональюсовпадают, этот факт никак не обоснован,.

∓
4

+/2 доказано, что точки касания вписанных окружностей треугольниковис диа- гональюсовпадают, нет вывода утверждения задачи из этого факта.

+/2
Максимум: 2

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 3

(23 баллов) Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается вписанной и соответствующей вневписанной окружностей в точках T1, T2 соответственно. Окружность, проходящая через середины сторон, касается этих же окружностей в точках S1, S2 соответственн
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 6

(20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 4

(23 баллов) В угол AOC вписаны окружности Omega1 и Omega2 (радиус Omega1 больше). Omega1 касается сторон угла в точках A и B, а Omega2 – в точках D и C соответственно. Точка M – середина отрезка BC. Прямые MA и MD вторично пересекают Omega1 и Omega2 соответственно в точках X и Y. Прямые BX и CY пере
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 6

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины
Очень сложная
Планиметрия