Высшая проба 2020, 11 класс, задача 2
( баллов) Дан описанный четырехугольник , у которого радиусы вписанных окружностей треугольников и равны. Найдите угол между диагоналями и .
Ответ: .
Решение. Докажем, что точки касания вписанных окружностей треугольников и с диагональю совпадают.
В самом деле, обозначим точки касания и соответственно. Тогда
Критерий описанности четырехугольника , это равенство равносильно .
Теперь легко видеть, что картинка однозначно задается радиусом вписанных окружностей треугольников и и расстояниями от точки касания до точек и . Значит картинка переходит в себя при симметрии относительно прямой , при этом точки и меняются местами. Но это означает, что перпендикулярна , итак ответ .
− задача решалась исходя из неверного понимания условия (например, что четырехуголь- никвписанный вместо описанного),.
− решенлюбойчастныйслучай,напримеркогдадиагональBD являетсябиссектрисойугла четырехугольника,.
∓ задачарешенапридополнительномпредположении,чтоточкикасаниявписанныхокруж- ностей треугольниковис диагональюсовпадают, этот факт никак не обоснован,.
+/2 доказано, что точки касания вписанных окружностей треугольниковис диа- гональюсовпадают, нет вывода утверждения задачи из этого факта.