Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 5
( баллов) Точка - середина стороны треугольника . Касательные, проведенные из к вписанной окружности треугольника , касаются этой окружности в точках , . Касательные из к вневписанной окружности , касающейся стороны , касаются этой окружности в точках , . Прямые , пересекаются в точке . Оказалось, что . Найдите угол .
Решение. План решения: мы докажем два ключевых факта: что биссектриса угла также является биссектрисой угла ; и что перпендикулярна . Тогда в треугольнике медиана и высота симметричны относительно биссектрисы - отсюда мы выведем, что угол прямой.
Через и обозначим вписанную и вневписанную окружность из условия соответственно, через и - их центры. Пусть - та из точек касания , , что лежит на стороне , аналогично пусть лежит на . Введя обозначения для длин сторон треугольника и явным образом выразив отрезки, на которые точки касания вписанной и вневписанной окружности делят стороны треугольника, можно показать, что (оставляется читателю). Значит, все четыре точки , , , лежат на окружности с центром и радиусом .
Точка лежит на радикальной оси (для пересекающихся окружностей - просто прямой через общие точки) окружностей и ; аналогично лежит на радикальной оси окружностей и ; значит, лежит и на радикальной оси и . Но тоже лежит на этой радикальной оси, поскольку касательные из равны. Значит, - радикальная ось и , тогда она перпендикулярна биссектрисе угла . Поскольку , в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. Первый ключевой факт доказан.
Заметим, что прямая перпендикулярна (это ясно, если вспомнить определение окружности ), значит проходит через точку , симметричную точке относительно .
Лемма . Пусть в треугольнике вписанная окружность с центром и вневписанная окружность с центром касаются стороны в точках , соответственно. Точка симметрична относительно . Точка симметрична относительно . Тогда точки , , лежат на одной прямой, а также точки , , лежат на одной прямой.
Доказательство. Но другое описание точки таково: если рассмотреть гомотетию с центром в , переводящую в , то образом точки будет точка . Значит, при этой гомотетии прямая (она же ) остается на месте, значит эта прямая проходит через точку .
Итак, - высота треугольника . Аналогично и - высота треугольника , значит, - его ортоцентр, то есть прямая перпендикулярна прямой , она же . Второй ключевой факт доказан.
Итак, в треугольнике высота и медиана из вершины симметричны относительно биссектрисы из этой вершины. Тогда угол прямой. Это следует из
Лемма . В произвольном треугольнике с центром описанной окружности прямая, содержащая высоту , и прямая симметричны относительно биссектрисы угла .
Доказательство оставляем читателю в качестве полезного упражнения. Указание: посчитайте углы через дуги
A0 Недоведенный счет в координатах, решение задачи при дополнительных предположе- ниях.
A1 Отмечено, что четырехугольник– вписанный.
A2 К предыдущему добавлено, что точка– радикальный центр трех одружностей: впи- санной, вневписанной и описанной около.
A3 – ортоцентр.
A5 Доказано, что биссектриса углатакже является биссектриссой угла.
Баллы за разные пункты не скалдывается, меньшие уже включены в большие.