Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 2
( баллов) Дан описанный четырёхугольник , у которого радиусы вписанных окружностей треугольников
и равны. Найдите угол между диагоналями и .
Ответ: .
Доказательство. Докажем, что точки касания вписанных окружностей треугольников и с диагональю совпадают.
Обозначим точки касания и соответственно. Тогда
Из описанности четырёхугольника следует равенство , а это равносильно
равенству .
Теперь легко видеть, что картинка однозначно задается радиусом вписанных окружностей треугольников
и и расстояниями от точки касания до точек и . Значит, картинка переходит в себя при
симметрии относительно прямой , при этом точки и меняются местами. Но это означает, что прямая
тоже переходит в себя, то есть она перпендикулярна оси симметрии .
− Задачарешаласьисходяизневерногопониманияусловия(например,чточетырехугольникABCD впи- санный вместо описанного).
− Решен любой частный случай (например, когда диагональявляется биссектрисой угла четырёх- угольника).
− Недоведённый или неверный счёт.
∓ Задача решена при дополнительном предположении, что точки касания вписанных окружностей тре- угольниковис диагональюсовпадают, этот факт никак не обоснован.
∓ Доказано, что точки касания вписанных окружностей треугольниковис диагональюсовпадают, нет вывода утверждения задачи из этого факта.