(20 баллов) Даны m подмножеств n-элементного множества: A1,ldots,Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство n2Σi,j,k=1m |Aicap Ajcap Ak|ge (|A1|
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 1
(20 баллов) На доске написана система из 12 различных уравнений с 6 неизвестными x1,x2,x3,x4,x5,x6. Каждое уравнение имеет вид xi+xj+xk=0, где ine jne k (сумма трех различных неизвестных равна нулю). М
Очень сложная
Алгебра
Функции
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 2
(20 баллов) Дан описанный четырехугольник ABCD, у которого радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и ADC равны. Найдите угол между диагоналями AC и BD.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 3
(20 баллов) Найдите все вещественные c, при которых сумма девятых степеней корней уравнения x2-x+c=0 равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.
Очень сложная
Алгебра
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 4
(20 баллов) Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AHperp PQ тогда и только тогда, когда точки P,Q,M,N лежат на одной окружности.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 5
(20 баллов) Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n<100 сумма выбранных чисел отличалась от (nS/100) не более чем на frac1{100}.
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 11 класс, задача 6
(20 баллов) В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.
(20 баллов) В таблице 9 × 9 расставлены различные натуральные числа, сумма которых равна 2S. Известно, что в каждой строке числа возрастают слева направо, а в каждом столбце - снизу вверх. Может ли сумма чисел в центральном квадрате 5 × 5 быть больше S?
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 2
(20 баллов) Дан описанный четырёхугольник ABCD, у которого радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и ADC равны. Найдите угол между диагоналями AC и BD.
Очень сложная
Планиметрия
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 3
(20 баллов) В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ldots каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Докажите, что среди чисел Фибоначчи нет ни одной натуральной степени числа 7.
Очень сложная
Теория чисел
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 4
(20 баллов) Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер иррациональны, а объем, полная поверхность и большая диагональ - числа целые? (Прямоугольный параллелепипед - это фигура в пространстве, задаваемая неравенствами 0le xle a, 0le yle b, 0le zle c, где a, b, c>0 - фикси
Очень сложная
Алгебра
Стереометрия
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 5
(20 баллов) Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n<100 сумма выбранных чисел отличалась от nS/100 не более чем на 1/100.
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 6
(20 баллов) Рассматриваются наборы из семи гирь с суммарным весом 1 (вес каждой гири неотрицателен). Назовем поднабор большим, если сумма весов гирь поднабора больше или равна 2 / 3. Для каждого набора найдем число больших поднаборов. Найдите минимум этого числа по всем наборам.
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 7
(40 баллов) Даны m подмножеств n-элементного множества: A1,ldots,Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство n2Σi,j,k=1m|Aicap Ajcap Ak|ge (|A1|+
(20 баллов) В самолёте летят жители города лжецов и жители города рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Все пассажиры сели в ряды по 4 человека, и бортпроводник задал каждому пассажиру один и тот же вопрос. «Верно ли, что в вашем ряду столько же Ваших земляков, сколько жи
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 8 класс, задача 2
(20 баллов) Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Вася утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2020, 8 класс, задача 3
(20 баллов) Имеется прямоугольный параллелепипед. Вася считает, что при увеличении каждого из его рёбер на 1 см полная поверхность параллелепипеда увеличится на 9 см2, а объём увеличится на 5 см3. Может ли он оказаться прав? Замечание. Прямоугольный параллелепипед - пространств
Сложная
Алгебра
Стереометрия
Высшая проба 2020, 8 класс, задача 4
(20 баллов) На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M так, что равнобедренным оказался каждый из треугольников ABM, AMD, CDM. Найдите углы параллелограмма. (Ответ нужно выразить в градусах).
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2020, 8 класс, задача 5
(20 баллов) Вершины 2019-угольника покрашены в два цвета: 1010 синих и 1009 красных. Сторона с двумя красными вершинами помечена числом 2, сторона с двумя синими вершинами помечена числом 1 / 2, а сторона с разноцветными вершинами помечена числом 1. Найдите все возможные значения произведения всех ч
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 8 класс, задача 6
(20 баллов) Рассматриваются наборы из семи гирь с суммарным весом 1 (вес каждой гири неотрицателен). Назовем поднабор большим, если сумма весов гирь поднабора больше или равна 2 / 3. Для каждого поднабора найдём число больших поднаборов. Найдите минимум этого числа по всем наборам.
(20 баллов) В самолёте летят жители города лжецов и жители города рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Все пассажиры сели в ряды по 4 человека, и бортпроводник задал каждому пассажиру один и тот же вопрос. «Верно ли, что в вашем ряду столько же Ваших земляков, сколько жи
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 7 класс, задача 2
(20 баллов) Имеется пять гирь различного веса, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что две самые тяжёлые гири весят в два раза больше трёх других, а три самые тяжёлые гири весят в восемь раз больше двух других. Найдите наименьшее возможное значение суммарного веса всех гирь.
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2020, 7 класс, задача 3
(20 баллов) Имеется дробь 1/n. Семиклассник Семёнов каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Семёнов утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?
Сложная
Теория чисел
Высшая проба 2020, 7 класс, задача 4
(20 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено AB=BC=CD, и каждая из диагоналей равна какой-то стороне. Найдите углы четырёхугольника. (Ответ нужно выразить в градусах)
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2020, 7 класс, задача 5
(20 баллов) Вершины 2019-угольника покрашены в два цвета: 1010 синих и 1009 красных. Сторона с двумя красными вершинами помечена числом 2, сторона с двумя синими вершинами помечена числом 1 / 2, а сторона с разноцветными вершинами помечена числом 1. Найдите все возможные значения произведения всех ч
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2020, 7 класс, задача 6
(20 баллов) Имеется клетчатая доска (2n+1) × (2n+1). В центральной клетке сидит таракан. Семиклассник Семён хочет убить таракана и кидает в него камешками (не обязательно на ту самую клетку, где находится таракан). Пока камешек летит, таракан перебегает в любую соседнюю по стороне клетку. Камешек, п
