Высшая проба 2020, 11 класс, задача 4
( баллов) Точки и лежат соответственно на сторонах и квадрата . Прямые и пересекают в точках и соответственно, а прямые и пересекаются в точке . Докажите, что тогда и только тогда, когда точки лежат на одной окружности.
Решение. Для этой задачи мы приведем нелюбимое геометрами счетное решение, но попробуем хотя бы счет сделать эстетичным. Начнем с обозначений. Пусть длина стороны квадрата . Продлим до пересечения с (естественно, нам же ровно про эти два отрезка надо доказать, что они перпендикулярны), точку пересечения обозначим через . Длины отрезков , , и обозначим через , , и соответственно.
Мы ввели переменных слегка с запасом, задумаемся, какие соотношения на них мы знаем. Во-первых, записав теорему Пифагора для треугольника , имеем:
Во-вторых, запишем теорему Чевы для треугольника . Заметим, что , поскольку - биссектриса треугольника , она делит в отношении боковых сторон, то есть
Аналогично
Таким образом, теорема Чевы гласит:
Сокращая одинаковые множители (все они не равны нулю, ибо все не меньше ), получаем , мы позволим себе вольность записывать это соотношение как , поскольку все переменные положительны из картинки.
Теперь поймем, как записывается условие задачи в терминах введенных переменных. С описанностью все просто: эти четыре точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда , пользуясь ранее выписанными длинами, имеем
что равносильно
Чуть сложнее с условием, что . Из него, очевидно, следует, что (для прямоугольных треугольников и с общим катетом разность квадратов других катетов равна разности квадратов гипотенуз). Обратное тоже верно: запишем теорему косинусов для треугольников и и вычтем равенства. Имеем:
Значит равенство влечет , но это и означает, что скалярное произведение отрезков и равно нулю, то есть для алгебраиста они перпендикулярны. Для геометра - что отрезки перпендикулярны или один из них равен нулю, что невозможно в условиях задачи: означает, что обе точки и совпали с , но они на сторонах квадрата, а не в вершине. означает, что лежит на , что тоже противоречит тому, что точки взяты на сторонах, а не на их продолжениях.
Итак, в задаче требуется доказать равносильность двух систем:
Этим и займемся, благо из трех уравнений два совпадают, надо что-то сделать с третьим. Левое оставим как есть, преобразуем правое.
Представим себе, что про переменные и нам сообщена их сумма и отношение: и , как выразить через ? Очевидно
Подставив и из первого и второго уравнения системы соответственно, видим, что третье уравнение переписалось в виде
После преобразований получаем
то есть то же, что и в левой системе, с точностью до домножения на константу. Итак, системы действительно равносильны - задача решена.
Комментарий. То что третье уравнение оказывается приводимым означает, что есть два разных случая, когда точки лежат на одной окружности. Один (очевидный) - когда , и картинка симметрична. Другой - когда , в более геометрических терминах: когда виден из точки под углом $45^\cir
∓ Доказано что если $PAQPQMN$лежат на одной окружности.
± Доказано в одну сторону, при том что обращение рассуждений не тривиально.