Высшая проба 2020, 8 класс, задача 4
( баллов) На стороне параллелограмма выбрана точка так, что равнобедренным
оказался каждый из треугольников , , . Найдите углы параллелограмма.
(Ответ нужно выразить в градусах).
Ответ. Значения меньших углов параллелограмма бывают: , или
(углы параллелограмма совпадают).
Решение. Без ограничения общности можно считать, что . Тогда, поскольку
треугольник - равнобедренный, . Более того, в силу параллельности и . Следовательно, . То есть для того, чтобы решить задачу, достаточно найти угол . По условию треугольник - равнобедренный. Отсюда возникают три случая: , и . Случаи разбираются одинаково, поэтому разберем полностью только первый из них, а в остальных просто запишем возможные значения для .
Итак, углы на рисунке расставлены в соответствии со сделанными предположениями. Теперь, треугольник по условию равнобедренный. Его углы по предположению - это , и . , поскольку . , поскольку в этом случае треугольник вырождается.
Таким образом, и .
Во втором случае . В третьем случае $\alpha=45^\cir
- В рассуждениях отсутствует содержательная мотивация.
-. Только один ответ с примером. -/+ Разобраны не все случаи. +/- Несколько арифметических ошибок или не проверен на существование случай, которого на самом деле нет.
+. Одна арифметическая ошибка.
- Полное решение.