Высшая проба 2022, 7 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2022, 7 класс

( баллов) Можно ли разрезать прямоугольник на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и фигурки T-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании?

Рисунок к условию

Ответ. Можно. При этом получится два креста и восемь четырёхклеточных фигурок.

Решение. Пусть и – число четырёхклеточных и пятиклеточных фигурок

соответственно. Тогда получаем уравнение , из которого видно, что – чётное число, не кратное и не превосходящее . То есть, либо , либо . Но случай , невозможен, поскольку угловые клетки нельзя покрыть пятиклеточными крестами и четырёхклеточных фигур должно быть хотя бы четыре. Случай , изображён на рисунке.

Рисунок к решению

Только доказано, что крестов либо 2 либо 6.

Только приведён пример такого разрезания.

Приведён пример такого разрезания и доказано, что крестов 2 или 6: от ±.

Максимум: 11

Похожие задачи

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 5

(15 баллов) В треугольнике ABC угол B равен 80^circ. На стороне BC отмечена точка D такая, что AB=AD=CD; на стороне AB отмечена точка F такая, что AF=BD. На отрезке AC отмечена точка E такая, что AB=AE. Найдите угол AEF. Рисунок к условию задачи 5

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 9 класс, задача 3

(17 баллов) Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором angle B=90^circ. На стороне AB отметили точку D, а на стороне BC - точку E так, что прямая AC параллельна прямой DE, расстояние между прямыми AC и DE равно 1, а длина DE равна 1. Обязательно ли отрезок биссектрисы угла B, лежащий вну

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 10 класс, задача 2

(13 баллов) На окружности отмечено 1000 синих точек. Известно, что каждая из них является вершиной равнобедренного треугольника, остальные вершины которого тоже синие. Могло ли оказаться так, что общее количество равнобедренных треугольников с синими вершинами составляет ровно 10000?

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика