Высшая проба 2021, 8 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2021, 8 класс

( баллов) В треугольнике угол равен . На стороне отмечена точка такая, что ; на стороне отмечена точка такая, что . На отрезке отмечена точка такая, что . Найдите угол .

Рисунок к условию задачи 5

Ответ: . Решение:

Поскольку имеем , а поскольку , имеем .

Поэтому , следовательно, треугольник - правильный.

Тогда обозначив через точку пересечения и имеем

то есть .

Из этого следует, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, .

Правильное решение:Нашел и доказал равносторонний треугольник:не меньше.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90^circ, angle BLK=90^circ и KM=KL. Чему равен угол CML?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия