Высшая проба 2021, 9 класс, задача 4
( баллов) Четырехугольник вписан в окружность . Точки , лежат на сторонах , соответственно. Прямые, проходящие через , и параллельные соответственно , , пересекаются в точке , лежащей внутри четырехугольника ; а прямая повторно пересекает в точке , лежащей на дуге , не содержащей точки . Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Ответ
Решение .
Четырехугольник вписан, поэтому . Из параллельности и следует, что . Таким образом, . Следовательно, четырехугольник является вписанным.
Четырехугольник тоже вписан, поэтому . Из параллельности и следует, что . Таким образом, . Следовательно, четырехугольник тоже является вписанным.
Из вписанности четырехугольников и следует, что точки , , , , лежат на одной окружности.
Решение .
Четырехугольник вписанный, поэтому прямые и антипараллельны относительно пары прямых и . По условию , следовательно, прямая антипараллельна относительно той же пары прямых. Таким образом, четырехугольник является вписанным.
Аналогично доказывается, что вписанный. Таким образом, точки , , , , лежат на одной окружности.