Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6
( баллов) Имеется палочек длин , , , ..., . Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник?
Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.
Ответ
Решение. Не обязательно. Условие означает, что среди любых трёх подряд лежащих палочек наименьшая будет больше разности двух других. Приведём конструкцию, для которой это выполняться не будет. Будем брать не палочек, а любое их количество, кратное трём. При этом вместо палочек будем работать с набором чисел , , , ..., . Сперва выложим круг из чисел от + до : , +, -, +, -, +, ..., +, -, +, . Разницы между соседями будут таковы: , , , ..., -, -, . Затем вставим числа , , ..., в промежутки с разностями , , , ..., - соответственно. При этом во все промежутки, кроме первого, вставляется число меньшее разности. Для первой тройки , +, неравенство треугольника также не выполняется.