Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2022, 7 класс

( баллов) Имеется палочек длин , , , ..., . Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник?

Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Решение. Не обязательно. Условие означает, что среди любых трёх подряд лежащих палочек наименьшая будет больше разности двух других. Приведём конструкцию, для которой это выполняться не будет. Будем брать не палочек, а любое их количество, кратное трём. При этом вместо палочек будем работать с набором чисел , , , ..., . Сперва выложим круг из чисел от + до : , +, -, +, -, +, ..., +, -, +, . Разницы между соседями будут таковы: , , , ..., -, -, . Затем вставим числа , , ..., в промежутки с разностями , , , ..., - соответственно. При этом во все промежутки, кроме первого, вставляется число меньшее разности. Для первой тройки , +, неравенство треугольника также не выполняется.

1

Приведён правильный пример, но не доказано, что он работает.

14
Максимум: 14

Похожие задачи

Высшая проба 2026, 8 класс, задача 3

(16 баллов) В треугольнике ABC точка D - середина AB, а точка E - середина AC. На стороне AC выбрана точка F такая, что AF=2FC. Известно, что DF - биссектриса угла angle CDE, angle B=60circ. Найдите угол angle BAC.
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90circ, angle BLK=90circ и KM=KL. Чему равен угол CML?
Сложная
Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго
Сложная
Планиметрия