Высшая проба 2026, 8 класс, задача 3
( баллов) В треугольнике точка - середина , а точка - середина . На стороне выбрана точка такая, что . Известно, что - биссектриса угла , . Найдите угол .
Ответ
Ответ. .
Решение. Отметим на луче точку такую, что . Отметим середину отрезка . Заметим, что - средняя линия треугольника , а - средняя линия треугольника . Тогда , а значит, лежит на отрезке .
Также заметим, что . С другой стороны, , а значит, в силу того, что - биссектриса треугольника , .
Но и - средние линии , а значит, , откуда . Тогда, так как сумма углов треугольника равна , угол , а треугольник - равносторонний. В равностороннем треугольнике медиана является и биссектрисой, откуда .