Высшая проба 2022, 8 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2022, 8 класс

( баллов) В параллелограмме отмечена точка такая, что =. Докажите, что центр параллелограмма равноудален от середин всех сторон треугольника .

Доказательство. Пусть – точка пересечения диагоналей, – середина отрезка , – середина отрезка , – середина отрезка . Тогда, рассматривая средние линии в треугольниках , и , приходим к равенствам /=/=/=. Что и требовалось.

Доказано, что расстояние от центра параллелограмма до серединыравно расстоянию + до середины другой стороны, но не рассмотрена третья.

Максимум: 8

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90^circ, angle BLK=90^circ и KM=KL. Чему равен угол CML?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 3

(15 баллов) Можно ли разрезать прямоугольник 6 × 7 на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и фигурки T-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании? Рисунок к условию

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 8 класс, задача 3

(16 баллов) В треугольнике ABC точка D - середина AB, а точка E - середина AC. На стороне AC выбрана точка F такая, что AF=2FC. Известно, что DF - биссектриса угла angle CDE, angle B=60^circ. Найдите угол angle BAC.

Сложная

Планиметрия