Высшая проба 2022, 8 класс, задача 2

( баллов) В параллелограмме отмечена точка такая, что =. Докажите, что центр параллелограмма равноудален от середин всех сторон треугольника .

Ответ

Доказательство. Пусть – точка пересечения диагоналей, – середина отрезка , – середина отрезка , – середина отрезка . Тогда, рассматривая средние линии в треугольниках , и , приходим к равенствам /=/=/=. Что и требовалось.

Доказано, что расстояние от центра параллелограмма до серединыравно расстоянию + до середины другой стороны, но не рассмотрена третья.

Максимум: 8

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 7

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 4

(23 баллов) Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω. Точки M, N лежат на сторонах AD, CD соответственно. Прямые, проходящие через M, N и параллельные соответственно AB, BC, пересекаются в точке P, лежащей внутри четырехугольника ABCD; а прямая BP повторно пересекает ω в точке Q, лежащей на дуге C

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2024, 10 класс, задача 3

(15 баллов) В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, точки E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окружность в точке T ne I. Докажите, что ортоцентр треугольника AEF равноудалён от точек T и I.

Сложная

Планиметрия