Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 1

(12 баллов) В этой задаче запись x bmod n, где x - целое, а n - натуральное, обозначает такое целое число y от 0 до n-1, что x-y делится на n. Существует ли такая функция f, определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом x верно f((x²+1) bmod 7

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 2

(17 баллов) Вася пришел в казино, имея один вшэ-коин (единственную в мире виртуальную валюту, которую можно делить на любые части; например, можно поставить на кон π /10 вшэ-коина). В казино игрокам предлагается делать ставки на цвет шара, который будет вытащен из ящика. Фиксировано число p, причем

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 3

(23 баллов) Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается вписанной и соответствующей вневписанной окружностей в точках T₁, T₂ соответственно. Окружность, проходящая через середины сторон, касается этих же окружностей в точках S₁, S₂ соответственн

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 4

(32 баллов) Найдите все действительные числа d, для которых существуют многочлены от одной переменной P и Q, такие что равенство (P(x)/Q(x)) -(P(x+d)/Q(x+d)) =frac1{x(x+1)} выполняется при всех значениях x кроме конечного числа.

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 5

(42 баллов) Через X(α) будем обозначать точку с координатами (cosα,sinα) (все такие лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат). Выбрали произвольный угол φ и провели хорды P(φ)P(2022φ), P(2022φ)P(2022²φ),ldots (на шаге номер n проводится хорда P(2022^n-1φ)P(2022

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 6

(50 баллов) Фокусник и его Ассистент готовятся показать следующий фокус. Фокуснику завяжут глаза, после чего один из зрителей напишет на доске 60-битное слово (последовательность из 60 нулей и единиц). Ассистент уверен, что сможет незаметно передать фокуснику записку, содержащую 44 бита (не обязател

Очень сложная

Выражения и преобразования

9–10 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 1

(13 баллов) В этой задаче запись x bmod n, где x - целое, а n - натуральное, обозначает такое целое число y от 0 до n-1, что x-y делится на n. Существует ли такая функция f, определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом x верно f((x²+1) bmod 7

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 2

(20 баллов) В треугольнике ABC точки A₁, B₁, C₁ - середины сторон BC, AC, AB соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ - середины ломаных BAC, ABC, ACB соответственно (точка называется серединой ломаной, если принадлежит ломаной и делит ее на

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 3

(20 баллов) Вася пришел в казино, имея один вшэ-коин (единственную в мире виртуальную валюту, которую можно делить на любые части; например, можно поставить на кон π/10 вшэ-коина). В казино игрокам предлагается делать ставки на цвет шара, который будет вытащен из ящика. Фиксировано число p, причем 1

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 4

(28 баллов) Напомним, что запись числа n в t-ичной системе счисления - это представление n=overline{a_ka_k-1ldots a₀}=a_kt^k+a_k-1t^k-1+ · s+a₀, где a_i - целые числа от 0 до t-1, причем a_k - не но

Очень сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 5

(40 баллов) Точка M - середина стороны BC треугольника ABC. Касательные, проведенные из M к вписанной окружности треугольника ABC, касаются этой окружности в точках P, Q. Касательные из M к вневписанной окружности ABC, касающейся стороны BC, касаются этой окружности в точках R, S. Прямые PQ, RS пере

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 6

(50 баллов) Рассматриваются всевозможные наборы действительных чисел x₁,ldots,x₂₀₂₁, не превосходящих по модулю 1, с суммой 0. Для какого наименьшего C можно любой такой набор расставить по кругу так, что сумма любых нескольких стоящих подряд чисел будет по модулю не больше C?

Очень сложная

Выражения и преобразования

8 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 1

(15 баллов) Число ab есть произведение b последовательных натуральных чисел, наименьшее из которых равно a (в частности, a1=a). Найдите все пары натуральных чисел a, b, для которых выполнено равенство ab=2(ba).

Сложная

Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 2

(15 баллов) В параллелограмме ABCD отмечена точка K такая, что AB=BK=KC. Докажите, что центр параллелограмма равноудален от середин всех сторон треугольника AKD.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 3

(15 баллов) Настойчивый восьмиклассник Вася выписал в ряд 2021 нечетное число n₁,n₂,ldots,n₂₀₂₁. Затем он построил новый ряд из 2020 чисел по следующему правилу: p₁ получается перемножением всех делителей числа n₁ (в том числе единицы и самого ч

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 4

(15 баллов) Назовём ход ладьи банальным, если она смещается на кратное трём число клеток. В противном случае назовём ход оригинальным. Может ли ладья обойти поле 9×9, чередуя банальные и оригинальные ходы так, чтобы в каждой клетке ладья побывала ровно один раз?

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 6

(20 баллов) Натуральное число N называется интересным, если в системе счисления с основанием t оно задаётся четырёхзначным числом overline{abcd}, то есть N=at³+bt²+ct+d, 0le a,b,c,dle t-1, ane0, таким, что overline{ab}+overline{cd}=overline{bc}. Сколько существует пар интересны

Сложная

Теория чисел

7 класс

Заключительный этап

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 1

(10 баллов) Гражданин Сидоров на 6 лет старше своей жены гражданки Сидоровой. Однажды Сидоров обнаружил, что ровно половину своей жизни он провёл в браке с Сидоровой. Ровно через 14 лет после этого Сидорова обнаружила, что она провела в браке с Сидоровым ровно две третьих своей жизни. Сколько лет бу

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Петя записал в ряд 2021 число, отличное от нуля, и перемножил все пары соседних чисел. Среди полученных произведений оказалось 1010 положительных и 1010 отрицательных чисел. Вася записал все исходные числа в том же порядке, но по кругу, и тоже перемножил все пары соседних чисел. Сколько

Сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 3

(15 баллов) Можно ли разрезать прямоугольник 6 × 7 на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и фигурки T-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании? Рисунок к условию

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 4

(20 баллов) Пара различных натуральных чисел (a,b) называется удачной, если сумма наибольшего собственного делителя числа a и наименьшего собственного делителя числа b равна сумме наименьшего собственного делителя числа a и наибольшего собственного делителя числа b. Существует ли миллион удачных пар

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 5

(20 баллов) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На стороне AC выбрана точка K такая, что угол CBK составляет 15^circ. На луче BK отмечена точка M такая, что угол ACM составляет 90^circ. Докажите, что AC=BM.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия