Высшая проба 2022, 11 класс, задача 1
( баллов) В этой задаче запись , где - целое, а - натуральное, обозначает такое целое число от до , что делится на . Существует ли такая функция , определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом верно ?
Ответ. Нет.
Решение. Стандартным ходом при решении задач на функциональные уравнения является подставить какое-то значение переменной, при котором два часто возникающих и не равных друг другу тождественно выражения оказываются равны, и посмотреть, какие следствия из этого удастся вывести. Применительно к данной задаче на роль такой подстановки просится значение , для которого выполнялось бы .
Задумаемся, а существует ли такое ? Условие равносильно квадратному уравнению в остатках: (в этом абзаце все сравнимости по модулю ), эквивалентно . Или можно было просто перебором остатков, благо их всего , убедиться, что любой из и подходят.
Что же нам дает равенство ? Просится от обоих частей взять функцию , а затем воспользоваться условием задачи. Имеем: . Чтобы подчеркнуть полученное, обозначим и выбросим среднюю часть: . Отсюда следует (в этом абзаце все сравнимости по модулю ), отметим, что это именно следствие, а не равносильность. Выясним, имеет ли сравнимость решения, действуя стандартно: . А извлекается ли квадратный корень из по модулю ? Заметим, что , , , и . Мы перебрали все остатки, среди квадратов не нашлось , значит корень не извлекается, значит уравнение не имеет решений.
Итак, требуемой функции не существует
A0. Правильный ответ без доказательства.
A9. Есть все, кроме доказательства того, что нужный остаток не является квадратичным вычетом по модулю , или любое эквивалентное утверждение (данный квадратный трехчлен не имеет корней по модулю ), про которое указан способ проверить его конечной последовательностью вычислений. Обратите внимание: под данный критерий не попадают утверждения, не имеющие явной отсылки к модулю, по которому могут быть доказаны конечным перебором. Типичный пример - утверждение "число вида при целом не может быть квадратом целого числа" не подпадает под данный критерий.