Высшая проба 2021, 10 класс, задача 2
( баллов) Число случайным образом выбирается на отрезке (вероятность того, что попадет в заданный интервал на отрезке , пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность , такая, что
Какова вероятность того, что ?
Решение
Ответ: . Будем доказывать индукцией по следующие два утверждения.
. Вероятность того, что , равна .
. Вероятность того, что попадет в заданный интервал на отрезке , пропорциональна его длине.
База индукции следует из условия задачи. Пусть и выполнены для . По условию , где определяется по формуле .
Заметим, что прообраз отрезка при отображении есть объединение отрезков и . Таким образом, вероятность того, что , равна вероятности того, что . Суммарная длина отрезков и составляет от длины отрезка . Поэтому из утверждений и для следует, что искомая вероятность равна
Утверждение для доказано. Теперь заметим, что функции и являются линейными, и их образы совпадают с отрезком . Таким образом, утверждение для следует из аналогичного утверждения для . Переход индукции доказан.
A0 Утверждение (2) сформулировано, но не доказано.
A1 Утверждение (2) используется, но явно не формулируется (и не доказывается).
A2 Незначительные ошибки, не влияющие на ход решения.
А3 Доказательство того, что если точка попала в промежуток (;), то дальше точки в нужный отрезок не попадают.
A4 Без основания утверждается, чтодолжно лежать в-й итерации множества Кантора: —/+.