Высшая проба 2023, 11 класс, задача 6
( баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют различных действительных корня, а также каждый
из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет различных действительных корня. Какое наименьшее
количество различных действительных чисел может быть среди корней многочленов P(x), Q(x),
P(Q(x)) и Q(P(x))?
Ответ: .
Решение. Заметим, что если среди корней многочлена есть корень , скажем, число , то , откуда является корнем . Аналогично если среди корней есть корень многочлена , то является корнем . Но одновременно и не могут иметь корень , т. к. иначе в совокупности у них было бы менее корней. Отсюда можно получить оценку общего числа различных корней. Если их не больше , то у и есть общий корень, а также у и есть общий корень, чего не может быть по вышесказанному. Теперь построим пример, когда различных корней ровно . Пусть , . Тогда у корнями будут числа и ; у корнями будут числа и ; у корнями будут числа ; у корнями будут числа . Итого корни всех многочленов в совокупности — целые числа от до .
Замечание. Существуют и другие примеры, когда различных корней ровно ; во всех примерах один из трёхчленов и имеет корень . Например, пара трёхчленов и тоже подходит.
Баллы за оценку и пример суммируются.
+6 б. Оценка — доказано, что менее 6 различных чисел среди корней рассматриваемых мно- гочленов быть не может.
В отсутствие этого доказательства оценивается следующее продвижение.
+3 б. Замечено, что если многочлены(()) и() имеют общий корень, то мно- гочлен() имеет корень 0.
+14 б. Пример — указаны подходящие квадратные трёхчлены(), и() и показано, что среди корней всех четырёх рассматриваемых многочленов ровно 6 различных чисел (либо иным способом доказано, что такие трёхчлены существуют).
В отсутствие такого примера с обоснованием используется наибольший из следующих критериев.
+10 б. Верный пример квадратных трёхчленов() и(). # hse-vp-2023-final-g11 / solutions / page 9 ## Best Text.
+12 б. Верный пример квадратных трёхчленов() и(), и в работе также есть вер- ная оценка. (Таким образом, за решение с верной оценкой и верной парой() и() без доказательства, что они подходят, ставится в сумме 18 б.).
Следующие продвижения не оцениваются.
0 б. Приведён только ответ.
0 б. Верный пример с 7 и более корнями.
+12 б. Верный пример квадратных трёхчленов() и(), и в работе также есть вер- ная оценка. (Таким образом, за решение с верной оценкой и верной парой() и() без доказательства, что они подходят, ставится в сумме 18 б.).
Следующие продвижения не оцениваются.
0 б. Приведён только ответ.
0 б. Верный пример с 7 и более корнями. ## pdfplumber.
+12 б. Верный пример квадратных трёхчленов() и(), и в работе также есть вер- ная оценка. (Таким образом, за решение с верной оценкой и верной парой() и() без доказательства, что они подходят, ставится в сумме 18 б.).
Следующие продвижения не оцениваются.
0 б. Приведён только ответ.
0 б. Верный пример с 7 и более корнями.