Высшая проба 2023, 11 класс, задача 6
( баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют различных действительных корня, а также каждый
из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет различных действительных корня. Какое наименьшее
количество различных действительных чисел может быть среди корней многочленов P(x), Q(x),
P(Q(x)) и Q(P(x))?
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что если среди корней многочлена есть корень , скажем, число , то , откуда является корнем . Аналогично если среди корней есть корень многочлена , то является корнем . Но одновременно и не могут иметь корень , т. к. иначе в совокупности у них было бы менее корней. Отсюда можно получить оценку общего числа различных корней. Если их не больше , то у и есть общий корень, а также у и есть общий корень, чего не может быть по вышесказанному. Теперь построим пример, когда различных корней ровно . Пусть , . Тогда у корнями будут числа и ; у корнями будут числа и ; у корнями будут числа ; у корнями будут числа . Итого корни всех многочленов в совокупности — целые числа от до .
Замечание. Существуют и другие примеры, когда различных корней ровно ; во всех примерах один из трёхчленов и имеет корень . Например, пара трёхчленов и тоже подходит.