Высшая проба 2021, 10 класс, задача 1
( баллов) Через обозначим ближайшее к целое число (условимся, что при целом ). Положим . Выпишем все натуральные числа, не встречающиеся в последовательности в порядке возрастания; получим последовательность . Найдите явную формулу для числа .
Ответ: .
. Значит, равносильно тому, что , а равносильно тому, что . Значит, равносильно тому, что представляется в виде .
Решение .
Следовательно, равносильно тому, что представляется в виде , в иных случаях .
Значит, верно, что если число не встречается в последовательности, то существует такое , что , а . Но мы знаем, что в этом случае , а . Следовательно, каждое такое представляется в виде .
Решение .
Докажем, что любое число вида не встречается в последовательности . Для единицы это очевидно, так как .
Теперь пусть число представляется в виде . Тогда если , то , а если , то .
Теперь докажем, что все остальные числа встречаются в последовательности . Пусть число лежит в интервале . Тогда .
А0 Верный ответ без основания.
А2 Незначительные ошибки, не влияющие на ход решения.
А3 Доказано, что квадраты получить невозможно, но не доказано, что все остальные числа получить можно.