Высшая проба 2023, 10 класс, задача 1

Очень сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2023, 10 класс

( баллов) Существуют ли многочлены P(x), Q(x) и R(x) с действительными коэффициентами такие, что многочлены , и имеют одинаковую степень,
а многочлены , и имеют попарно различные степени? (Считаем,
что нулевой многочлен степени не имеет, то есть указанные многочлены не могут быть ему равны.)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: да.

Решение. Достаточно взять, например, . Тогда многочлены и имеют степень (это произведения двух многочленов степени ); многочлен равен и имеет степень ; многочлен равен и имеет степень ; многочлен равен и имеет степень .

1

Используется наибольший подходящий критерий.

-
2

15 б. Приведён любой верный пример многочленов(),(),() (либо иным образом до- казано, что такие многочлены существуют).

15
3

0 б. Приведён только ответ.

0
Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 2

(17 баллов) Число x1 случайным образом выбирается на отрезке [0,2] (вероятность того, что x1 попадет в заданный интервал на отрезке [0,2], пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность xn, такая, что xn+1=3|xn-1|-1, n
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 6

(50 баллов) Рассматриваются всевозможные наборы действительных чисел x1,ldots,x2021, не превосходящих по модулю 1, с суммой 0. Для какого наименьшего C можно любой такой набор расставить по кругу так, что сумма любых нескольких стоящих подряд чисел будет по модулю не больше C?
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 1

(12 баллов) В этой задаче запись x bmod n, где x - целое, а n - натуральное, обозначает такое целое число y от 0 до n-1, что x-y делится на n. Существует ли такая функция f, определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом x верно f((x2+1) bmod 7
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 6

(20 баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел може
Очень сложная
Выражения и преобразования