Высшая проба 2022, 11 класс, задача 4
( баллов) Найдите все действительные числа , для которых существуют многочлены от одной переменной и , такие что равенство
выполняется при всех значениях кроме конечного числа.
Первое решение. Сразу заметим, что при равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что даже когда не напоминаем об этом явно. Это тривиальное замечание, но если его не сделать - можно потерять немного баллов.
Предположим, что такие многочлены и нашлись. Тогда можно считать, что они взаимно просты (иначе поделим оба на общий множитель - новая пара тоже удовлетворяет условию), и у старший коэффициент равен (домножим и на константу, чтобы старший коэффициент стал равен ). Введем обозначение для разложения на линейные множители:
Далее нам потребуется известное утверждение о разложении рациональной функции в сумму простейших дробей.
Лемма (о разложении на простейшие дроби). Существует и единственно представление вида
где степень меньше при , причем .
Это стандартный факт, доказательство которого можно прочесть во многих учебниках, и даже в Википедии в статье "Разложение рациональной дроби на простейшие".
Для комплексного числа множество чисел вида , где - целое, будем называть цепью числа .
Ключевое утверждение: если - корень , то числа и принадлежат цепи .
Доказательство. Пусть - корень , тогда обозначим через и такие минимальное и максимальное значения , при которых является корнем . Заметим, что и определены корректно: множество значений не пусто (поскольку подходит) и конечно, поскольку у конечное число корней. Тогда пусть не оба числа и лежат в цепи . Тогда одно из двух чисел и не является ни , ни . Рассмотрим эти два случая.
Пусть не равно ни , ни . Посмотрим на равенство из условия
и разложим левую часть на простейшие дроби. Поскольку - корень , в разложение входит член со знаменателем и ненулевым числителем. Но не корень , иначе было бы корнем , что противоречило бы максимальности . Тогда член со знаменателем не входит в разложение , значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться - но он не входит в правую часть - противоречие.
Аналогично пусть не равно ни , ни . Посмотрим на то же равенство и разложим левую часть на простейшие дроби. Поскольку - корень , в разложение входит член со знаменателем и ненулевым числителем. Но не корень , обратное противоречило бы минимальности . Тогда член со знаменателем не входит в разложение , значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться - но он не входит в правую часть - противоречие.
Итак, мы доказали, что если у многочлена есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа и , то есть выполняется равенство для какого-то целого . Если же у нет комплексных корней, то он - ненулевая константа, то есть и - многочлены, тогда их разность не может равняться .
Осталось показать, что все значения вида , где , , подходят. Для достаточно взять функцию
и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве , а знаменатель - . Для то же самое сделать с суммой
$\frac{-1}{x+1}+\frac{-1}{x+(-m-1)/(-m)}+\frac{-1}{x+(-m-2)/(-m)}+\cdots+\frac{-1}
– здесь оцениваются продвижения в построении примеров для подходящих.
A0 Примеры только для значений 1 и -1 стоятA7ЯвнымобразомуказаноQ,накоэффициентыP выписанасистемалинейныхуравнений. Сказано, что она верхнетреугольная, но нет упоминания (тем более – доказательства), что на диагонали коэффициенты не нулевые –.
A9 Пример при всех возможных значениях– ∓ иB – здесь оцениваются продвижения в доказательстве, что не подходят все не подходящие значения. Все пункты с этой литерой аддитивны с серией. B3Приальтернативномпутирешениядоказано,чтосуществуетнекоторыймногочленR() (степень которого не зависит от), такой что()() делится на() –.
B4 Доказано, что ()() делится на().
B6 В лемме о разложении на простейшие нет упоминания, что числитель у любого корня ненулевой –.
B8 Лемма о разложении на простейшие дроби сформулирована но не доказывалась или доказывалась неверно – то же, что в.
B9 Полное доказательство, что подходят только эти значения:(в сумме сдает максимальный балл по задаче).