Высшая проба 2022, 8 класс, задача 4
( баллов) Назовём ход ладьи банальным, если она смещается на кратное трём число клеток. В противном случае назовём ход оригинальным. Может ли ладья обойти поле ×, чередуя банальные и оригинальные ходы так, чтобы в каждой клетке ладья побывала ровно один раз?
Ответ
Решение. Нет, не может. Пусть такой обход существует. Выделим множество клеток, указанное на рисунке. Ясно, что банальный ход ведет из любой клетки этой области в другую ее клетку, а не банальный из нее выводит. Поэтому при обходе отмеченные клетки посещаются парами, если обход не начинается и не кончается одной из них. Но мы всегда можем решить эту проблему, сдвинув закрашенную область на одну или две клетки по горизонтали. Значит, можно считать, что все закрашенные клетки посещаются парами. Но их нечетное число.
