Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 3
( баллов) Вася пришел в казино, имея один вшэ-коин (единственную в мире виртуальную валюту, которую можно делить на любые части; например, можно поставить на кон вшэ-коина). В казино игрокам предлагается делать ставки на цвет шара, который будет вытащен из ящика. Фиксировано число , причем . Если цвет вытащенного шара совпадает с тем, на который игрок поставил денег - игрок получит назад денег, если не совпадает - не получит ничего. Для ставок в каждом раунде можно использовать не только деньги, имевшиеся к началу игры, но и выигрыши прошлых раундов. Перед началом игры Вася смог подсмотреть, что в ящик положили черных и красных шара (других шаров нет), сыгранные шары обратно в ящик не возвращаются, игра происходит пока ящик не опустеет. Какую максимальную сумму Вася может гарантированно иметь к концу розыгрыша?
Решение. Заполним табличку: в клетке запишем, на какое максимальное число Вася может гарантированно к концу игры умножить имеющуюся у него сейчас сумму, если сейчас в ящике осталось черных и красных шаров. Легко понять, что стоит с краю: если уже не осталось черных шаров, то Вася может смело ставить все деньги на красный шар, соответственно увеличивая капитал в раз за каждый из оставшихся красных шаров. Аналогично если не осталось красных. Это и отмечено в таблице ниже.
| Черных шаров \ Красных шаров | ||||
|---|---|---|---|---|
Теперь поймем, что должно стоять в клетке , если мы уже знаем, что в клетках и стоят числа и соответственно. Пусть для определенности .
Во-первых, в оптимальной стратегии Вася не должен делать положительные ставки на оба исхода. В самом деле, пусть по своей стратегии он должен сейчас поставить суммы и , причем . Тогда пусть вместо этого он поставит денег на тот исход, на который должен был ставить , и на больше денег оставит не поставленными. Тогда при любом исходе он будет иметь на денег больше, чем имел бы, если бы ставил и .
Теперь поймем, сколько же Вася должен ставить. Ставить он должен на тот цвет, выпадание которого приводит в клетку с числом (напомним, ), в противном случае если этот цвет выпадет, Вася не сможет увеличить свой капитал более чем в раз, а мы строим стратегию лучше. Для определенности обозначим количество васиных денег через и пусть он поставит денег на цвет, выпадение которого приводит в клетку с числом . Тогда если выпал этот цвет, Вася оказался в этой клетке имея денег, соответственно закончит игру, имея не менее денег (и не может гарантированно иметь больше). Если же выпал цвет, приводящий в клетку с числом , Вася попал туда, имея денег, значит закончит игру, имея не меньше денег (и не может гарантированно иметь больше). Итак, гарантированный минимум при этой стратегии есть . Поскольку первая из функций под минимумом возрастающая по , а вторая - убывающая, максимум минимума достигается при значении , для которого функции принимают одно значение. Имеем
откуда . То есть . Иными словами, в интересующей нас клетке должно стоять число . Пользуясь этой формулой и значениями в клетках на краях, заполним всю табличку:
| Черных шаров \ Красных шаров | ||||
|---|---|---|---|---|
Внимание! хотя задача та же, что в 11 классе, критерии отличаются.
A0 Правильный ответ без доказательства − иЛюбые стратегии без доказатель- ства оптимальности (или с неверным доказательством оптимальности) − иВерно доказанная лемма, что не выгодно ставить одновременно на оба цвета –(однако и решение, полное за исключением отсутствия объяснения, что не надо ставить на оба цвета одновременно, приравнивается к полному).
A2 Верно разобран случай, когда остались два шара одного цвета и один – другого: ∓ и.
A5 Есть процедура заполнения таблички, аналогичная приведеной в решении: +/2 и.
A7 Арифметическая ошибка при наличии всех этапов решения и верной логике: ± и.
A8 Решение, полное за исключением отсутствия объяснения, что не надо ставить на оба цвета одновременно: +. и.