Высшая проба 2022, 8 класс, задача 3
( баллов) Настойчивый восьмиклассник Вася выписал в ряд нечетное число . Затем он построил новый ряд из чисел по следующему правилу: получается перемножением всех делителей числа (в том числе единицы и самого числа) и всех делителей числа , получается перемножением всех делителей числа и всех делителей числа и так далее. Вася утверждает, что , , а у произведения последние четыре цифры - . Стоит ли верить Васе?
Ответ
Решение. Нет, не стоит. Рассмотрим остаток от деления произведения на . Все делители чисел входят в это произведение дважды, а квадрат любого нечетного числа при делении на дает остаток . Поэтому рассматриваемое произведение по модулю будет сравнимо с , то есть будет давать остаток . Но число при делении на дает остаток .