Высшая проба 2022, 7 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2022, 7 класс

( баллов) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом . На стороне выбрана точка такая, что угол составляет . На луче отмечена точка такая, что угол составляет . Докажите, что .

Ответ

Доказательство. Опустим из вершины прямого угла перпендикуляр на гипотенузу. При этом точка совпадет с серединой гипотенузы, то есть . В треугольнике

В то же время в треугольнике

Значит, , что и требовалось.

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 3

(15 баллов) Можно ли разрезать прямоугольник 6 × 7 на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и фигурки T-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании? Рисунок к условию

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 10 класс, задача 2

(13 баллов) На окружности отмечено 1000 синих точек. Известно, что каждая из них является вершиной равнобедренного треугольника, остальные вершины которого тоже синие. Могло ли оказаться так, что общее количество равнобедренных треугольников с синими вершинами составляет ровно 10000?

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика