Высшая проба 2022, 7 класс, задача 5

( баллов) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом . На стороне выбрана точка такая, что угол составляет . На луче отмечена точка такая, что угол составляет . Докажите, что .

Ответ

Доказательство. Опустим из вершины прямого угла перпендикуляр на гипотенузу. При этом точка совпадет с серединой гипотенузы, то есть . В треугольнике

В то же время в треугольнике

Значит, , что и требовалось.

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 3

(15 баллов) Можно ли разрезать прямоугольник 6 × 7 на кресты из пяти клеток, фигурки Г-тетрамино и фигурки T-тетрамино (см. картинку в конце текста)? Если можно, то сколько пятиклеточных крестов может быть в таком разрезании? Рисунок к условию

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2025, 10 класс, задача 2

(15 баллов) Дана двусторонняя линейка без делений. Этот инструмент позволяет делать две операции: 1) провести прямую через две данные точки; 2) провести прямую, параллельную данной, на расстоянии 1 от нее. Постройте с её помощью (и не используя никакие другие инструменты) правильный треугольник.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 3

(15 баллов) В прямоугольном треугольнике KLM проведены биссектрисы KE и LF, пересекающиеся в точке O. Прямая, делящая на две равные части угол EOL, отсекает от исходного треугольника равнобедренный. Найдите острые углы треугольника KLM.

Сложная

Планиметрия