Высшая проба 2022, 11 класс, задача 5

Решение.

Нам будет полезен аналог целой части , выражающий для двух чисел с разностью расстояние по окружности между образами этих чисел, если намотать числовую прямую на единичную окружность: будем говорить, что при и при (здесь обозначает обычную дробную часть числа ). Тогда, например, если длина дуги между точками и равна , то длина дуги между и равна .

Предположим противное: что проведено бесконечное число хорд, но все они не пересекаются. Нам будет удобно представлять, что мы последовательно добавляем новые точки в порядке их номеров и рисуем получающиеся хорды.

Для краткости точку будем обозначать просто . Заметим, что точки не повторяются: если бы оказалось, что при , то выполнялось бы , и так далее, тогда число хорд было бы конечным. Итак, каждая новая точка попадает строго между ранее поставленными.

Определим по индукции понятие активной дуги -го шага. Для натурального будем ей считать ту из двух дуг , на которую попадает . Заметим, что тогда все точки лежат на активной дуге первого шага. В самом деле, пусть все точки от -й до -й лежат на активной дуге -го шага, а -я там не лежит. Тогда хорды и пересекаются.

Теперь предположим, что мы уже индукцией по доказали, что все точки попадают на активную дугу -го шага при . Определим активную дугу -го шага. лежит на -й активной дуге, значит делит ее на две части. На одну из этих частей попадает точка - эту часть и будем называть активной дугой -го шага. Тогда чтобы индукция работала, нам осталось доказать, что все точки лежат на этой дуге при . Понятно, что концы дуги - это какие-то из предыдущих точек , значит есть фрагмент ломаной, соединяющий их. Значит если еще лежит на дуге, а - уже нет, и не совпадает ни с одной из предыдущих точек , значит пересекается с указанным фрагментом ломаной.

Как легко видеть, каждая следующая активная дуга является подмножеством предыдущей. Более того, обозначим через длину активной дуги, а через - длину дуги (той из двух, которая лежит внутри активной). Тогда или

Поскольку - невозрастающая последовательность положительных чисел, она имеет предел. Докажем, что этого не может быть.

Если предел равен нулю, то нулю же равен и предел последовательности , поскольку . Но заметим, что . То есть если , то . Кроме того, всегда не равно нулю (иначе две точки совпали). Значит для в последовательности встречаются члены большие со сколь угодно большими номерами - ноль не является пределом.

Пусть предел равен положительному числу . Тогда по (*) последовательность разбилась на две подпоследовательности, предел одной равен нулю, предел другой - , причем по доказанному выше вторая содержит бесконечное число членов. Заметим, что - неподвижная точка преобразования . Тогда аналогично , если .

Выберем , будем говорить о числах и как о двух пределах. Начиная с какого-то номера все должны попадать в -окрестность одного из двух пределов. Но тогда при переходе от к расстояние до предела будет расти в раза - рано или поздно выскочит из -окрестности текущего предела и еще не дотянется до -окрестности другого предела.

Комментарии. Многие участники пытались доказывать факт, что при фиксированных и углы вида (при всех натуральных ) всюду плотны на окружности. По-видимому, перепутав его с фактом, что для не соизмеримого с угла углы вида всюду плотны на окружности. Второй факт верен, первый нет