Высшая проба 2025, 10 класс, задача 4
( баллов) Разрежьте фигуру, составленную из одинаковых равносторонних треугольников (см. рисунок), на три (не обязательно равные) части и сложите из них равносторонний треугольник.
Ответ
Решение. Решение представлено на рисунке (в исходной фигуре — семиугольник ).
Покажем, что это действительно требуемое разрезание. Точка получена отражением точки относительно точки — середины стороны , в результате чего получен треугольник , равный треугольнику . При этом , откуда следует, что треугольники и равны по двум сторонам ( и ) и углу между ними .
Таким образом, треугольники и совместятся после разрезания и указанного перекладывания. Получится равносторонний треугольник , длины сторон которого равны длине большей диагонали параллелограмма со сторонами и и тупым углом , то есть .