Высшая проба 2026, 9 класс, задача 3
( баллов) Дан прямоугольный треугольник , в котором . На стороне отметили точку , а на стороне - точку так, что прямая параллельна прямой , расстояние между прямыми и равно , а длина равна . Обязательно ли отрезок биссектрисы угла , лежащий внутри треугольника , имеет длину больше ?
Ответ. Обязательно.
Решение. Впишем окружность радиуса в угол с центром в точке . Обозначим точку касания этой окружности и луча за , точку касания этой окружности и луча - за .
Проведем касательную к окружности, параллельную (ближайшую из двух к точке ) и обозначим точку пересечения с за , точку пересечения с - за , а точку касания окружности и отрезка - за .
Нетрудно видеть, что - квадрат со стороной (это прямоугольник с двумя равными смежными сторонами). Заметим, что , а значит, отрезок лежит ближе к точке , чем отрезок . Точка лежит на расстоянии от , а значит, она лежит строго внутри треугольника . С другой стороны, точка лежит на биссектрисе из угла , на расстоянии от точки , а значит, биссектриса будет строго длиннее .
Верное решение.
При решении с использованием перпендикуляровик сторонерассмотрены оба подобия:и,и, где— основание биссектрисы угла.
При решении с использованием перпендикуляровик сторонедоказано, что центробразовавшегося квадрата лежит на биссектрисе угла. Или: доказана вписанность.
При решении с использованием перпендикуляровик сторонерассмотрено одно из подобий:и,и, где— основание биссектрисы угла.