Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 4
( баллов) Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер иррациональны, а объем, полная поверхность и большая диагональ - числа целые? (Прямоугольный параллелепипед - это фигура в пространстве, задаваемая неравенствами , , , где , , - фиксированные числа. Большая диагональ - это максимальное расстояние между вершинами параллелепипеда.)
Ответ Да, существует.
Доказательство. Нам нужно найти такие иррациональные , , , что , , - полный квадрат. Например, нам подойдут корни многочлена . Легко видеть, что у него положительных корня (достаточно посмотреть на значения в , , , ), что у него нет рациональных корней (их числитель и знаменатель будут обязаны делить единицу, то есть быть равными ). При этом произведение корней равно , сумма попарных произведений равна , , значит большая диагональ равна .