Высшая проба 2026, 10 класс, задача 4
(18 баллов) Дана функция , определённая на всей числовой прямой и принимающая числовые значения, такая, что для любых двух чисел верно равенство
Обязательно ли ?
Ответ. Обязательно.
Решение. Для начала подставим и и получим . Значит, либо , либо .
Теперь подставим и и получим , а значит, если , то равняется либо , либо . Из этого следует, что , причем если , то . Подставим и получим , а значит, . В частности, .
Осталось показать, что . Предположим обратное. Тогда , . Покажем по индукции, что для всех натуральных выполняется
База индукции. Так как , а , откуда .
Шаг индукции. Пусть для утверждение верно. Докажем утверждение для . Для этого заметим, что
и
Но тогда , что приводит нас к противоречию, а значит, , что и требовалось.
Верное решение.
Получена оценка, не доказано что равенство невозможно.
Штраф, если в решении присутствовало деление на выражение, про которое не очевидно априори, что оно не равно нулю, а случай равенства нулю не был рассмотрен.
Полностью рассмотрен случай, иных продвижений нет.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.