Высшая проба 2020, 11 класс, задача 3
( баллов) Найдите все вещественные , при которых сумма девятых степеней корней уравнения равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.
Ответ: .
Первое решение. Обозначим корни через и и воспользуемся теоремой Виетта. Задача переформулируется так: известно, что
найти .
Для начала заметим, что , поскольку в противном случае одно из равно нулю, тогда влечет, что и второе равно нулю, что противоречит .
Теперь посмотрим, что получится, если сумму девятых степеней домножить на сумму шестых (ноль, поскольку сумма девятых ноль) и вычесть сумму пятнадцатых (тоже ноль):
Поскольку , имеем (!). С другой стороны
откуда .
Второе решение. Так же как в первом решении докажем равенство (!), вместо последнего шага сделаем следующее. Заметим, что если - действительные корни, то одновременное выполнение (!) и невозможно из-за монотонности куба.
Если не действительные, то они сопряжены, тогда их кубы - тоже. Если сумма двух сопряженных чисел равна нулю, то их аргументы имеют вид , то есть до возведения в куб аргумент имел вид , или эквивалентно , где . Обозначив аргумент через , имеем для тех случаев соответственно
В первом случае , два других невозможны, поскольку аргумент - неотрицательное число. Получаем $c=x_1x_2=r^2=\frac1
− правильный ответ без доказательства.
∓ корректно выписана система полиномиальных уравнений на, далее утверждается, чтоявляется ее корнем, доказательство того, что других корней нет, отсутствует или неверно,.
+/2 в работе корректно доказано, что все возможные значенияпринадлежат некоторому конечному множеству, элементы которого выписаны явно (не как корни системы уравне- ний), но множество содержит не только 1, и все множество указано в качестве ответа,.
± верное решение за исключением случая действительных корней,.
- верное решение, но отсутсвует проверка, что 1 подходит (доказано только что числа, не. 3 равные 1, не подходят). В случае, если в решении присутсвуют оба дефекта, упомянутые в критериях на ± и + – стувится все равно ±..