Высшая проба 2020, 11 класс, задача 6
( баллов) В правильном тетраэдре с ребром, равным , отмечены различных точек: вершины и произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.
Ответ
Решение. Объем тетраэдра с ребром есть , поскольку этот тетраэдр получается, если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром . Заметим, что , значит если удастся тетраэдр разрезать на тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше .
Докажем, что если внутри тетраэдра выбраны точек, так что если добавить к ним вершины тетраэдра, то среди полученных точек никакие не лежат в одной плоскости, тогда тетраэдр можно разрезать на тетраэдр с вершинами в выбранных точках.
Индукция по . При считаем, что тетраэдр разбит на один тетраэдр - самого себя. Пусть для доказано, докажем для . Возьмем любые из внутренних точек, по предположению индукции разобьем тетраэдр. Теперь добавим последнюю точку, и посмотрим, внутрь какого тетраэдра разбиения она попала. Этот тетраэдр разобьем на четыре, каждый из которых образован новой точкой и гранью разбиваемого тетраэдра. Разбитый тетраэдр заменим в разбиении четырьмя новыми, число тетраэдров в разбиении выросло на ( добавили, убрали).
Итак, при имеем разбиение на тетраэдра, что и требовалось.