Высшая проба 2021, 11 класс, задача 4
( баллов) В угол вписаны окружности Omega1 и Omega2 (радиус Omega1 больше). Omega1 касается сторон угла в точках и , а Omega2 – в точках и соответственно. Точка – середина отрезка . Прямые и вторично пересекают Omega1 и Omega2 соответственно в точках и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что прямая проходит через середину отрезка .
Ответ
Первое решение. Докажем, что четырехугольник вписанный. Для этого нам достаточно показать равенство . Для этого заметим, что эти произведения равны и соответственно (степень точки относительно окружностей и ).
Теперь докажем вписанность . Из первого утверждения получаем равенство углов и . Кроме того, равны углы и по свойству касательной и и из подобия соответствующих треугольников. Поскольку также равны углы и , то получаем, что сумма углов и равна , что и требовалось.
Из этого получаем, что , что соответствует тому, что точка лежит на радикальной оси окружностей и . Очевидно, что на ней же лежат точки и середина стороны .
Второе решение (набросок). Инверсия с центром и радиусом переводит вписанную трапецию во вписанный -угольник . Тогда радикальные оси и пересекаются на радикальной оси окружностей и , которая проходит через середины и .