Высшая проба 2021, 7 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2021, 7 класс

( баллов) В прямоугольном треугольнике проведены биссектрисы и , пересекающиеся в точке . Прямая, делящая на две равные части угол , отсекает от исходного треугольника равнобедренный. Найдите острые углы треугольника .

Ответ: , , .

Решение:

Случай : проведены биссектрисы двух острых углов.

Пусть биссектриса угла пересекает катет в точке , катет в точке и .

Тогда , .

Отсекается треугольник , в котором есть прямой угол если он равнобедренный,

искомые углы .

Случай : проведена биссектриса острого угла и прямого угла .

Пусть биссектриса угла пересекает катет в точке , катет в точке и .

Тогда , .

Итак, углы отсечённого треугольника составляют , и .

Среди них есть два одинаковых.

Углы и не могут быть равны.

Два других равенства приводят к и , то есть к ответам , $\left(\frac{270^{\circ}{7},\frac{360}\circ}{7}\right)

Для решения задачи надо разобрать 4 подслучая (один в первом случае и 3 во втором). Если правильно разобран один: два:три:все четыре.

Максимум: 6

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Имеется 999 палочек длин 1, 2, 3,..., 999. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На сторонах AB, BC, AC отметили точки K, L, M соответственно так, что angle AKM=90^circ, angle BLK=90^circ и KM=KL. Чему равен угол CML?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 6

(25 баллов) Некоторые клетки квадрата 9 на 9 покрашены в чёрный цвет так, что в каждом прямоугольнике из шести клеток ровно две чёрные. Сколько всего клеток в квадрате покрашено? Дайте полный и обоснованный ответ на этот вопрос.

Сложная

Планиметрия