Высшая проба 2021, 9 класс, задача 7
( баллов) – равносторонний треугольник на плоскости, а – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника , но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен . Применить к точке на плоскости операцию – значит, отразить точку симметрично относительно ближайшей вершины треугольника (если ближайших вершин две, выбираем одну из двух произвольным образом). а) Докажите, что любая точка плоскости за конечное число операций попадет в круг . б) Пусть – расстояние от центра до какой -то точки, попадающей в первый раз в круг после ровно операций. Найдите промежуток возможных значений .
Ответ
Решение. Пусть — центр круга (и описанной окружности треугольника ). Прямые , , и разделят плоскость на частей, которые назовем областями. Пусть эти прямые пересекают окружность в точках , , , и , соответственно ( и на одном луче от , – на другом, для других точек аналогично). Тогда стороны угла являются серединными перпендикулярами к отрезкам и , а значит, для всех точек угла (равного ) и только для них точка является ближайшей из , , . При этом для точек, которые лежат внутри угла , но вне круга , после операции вершина станет ближайшей, а для точек, лежащих внутри угла , но вне круга , ближайшей станет вершина . Для вершин и аналогично. Рассмотрим, что происходит при применении нескольких операций к точке . Пусть — образ точкиX0 после применения к ней операций. Сформулируем несколько утверждений. Утверждение . Если лежит в , то все при тоже.
Доказательство очевидно.
Теперь мы можем без ограничения общности считать, что лежит в углеA1OB2 и вне круга . Утверждение . Вектор равен удвоенному вектору . В самом деле, для ближайшая вершина —, для —, композиция симметрий относительно потом дает параллельный перенос на вектор . Соответственно, если все точки , , , ..., лежат в , но не в , то все векторы , , , ..., равны .
Утверждение . Пусть — первая из четных точек, не лежащая одновременно в углеA1OB2 и вне круга . Тогда лежит в одной из трех областей: , (вне круга ) и (вне круга ).
Доказательство очевидно.
Итак, без ограничения общности можно считать, что попала в (вне круга ). Утверждение . Если – первая из четных точек, попавшая в , то попадет в или , попадет в или и так далее (за каждые два хода точка перескакивает через границу между теми же двумя соседними углами, или запрыгивает в ).
Доказательство очевидно.
Итак, если точка на каком-то шаге за две операции перескочит из угла в соседний, то дальше за каждую пару операций точка перепрыгивает между ровно этими двумя соседними углами, пока не попадет в круг . Докажем, что это рано или поздно произойдет. В самом деле, пусть точка за двойную операцию переходит между и . Тогда она за каждую двойную операцию смещается на вектор или . Оба вектора имеют проекцию на луч , значит, рано или поздно проекция точки на будет иметь отрицательную координату, то есть точка покинет углы и . По Утверждению сделать это четная точка может, только попав в , что завершает доказательство пункта а).
б)
Ответ: .
Решение аналогично $11.6