Высшая проба 2023, 9 класс, задача 4
( баллов) Точка — центр описанной окружности остроугольного треугольника . На сторонах и нашлись точки и соответственно такие, что и . Точка — центр описанной окружности треугольника . Докажите, что .
Решение. Обозначим , , ; имеем . Так как является центром описанной окружности треугольника , то , , , , . Из условия следует, что . Тогда четырёхугольник является вписанным, поскольку . Значит, точка является центром его описанной окружности (рис. ).
Получаем, что . Тогда . Пусть прямая пересекает прямую в точке . Тогда . Следовательно, прямая в равнобедренном треугольнике является биссектрисой угла , поэтому она также является и серединным перпендикуляром к отрезку . Точка лежит на этой прямой, поэтому .
Другое решение. Проведём луч до пересечения со стороной в точке (рис. ).
Заметим, что из равнобедренности треугольника . Тогда, так как по условию, то треугольники и подобны по двум углам. Имеем , откуда . Аналогично имеем . Но так как , получаем . Этого равенства достаточно, чтобы установить требуемое. Действительно, произведение отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки к окружности, описанной около . Аналогично той же величине оказывается равен квадрат отрезка касательной, проведённой из точки . Из равенства отрезков касательных следует и равенство расстояний от точек и до центра окружности
Используется наибольший подходящий критерий.
15 б. Любое полное решение задачи.
5 б. Доказана вписанность четырёхугольника.
1 б. Замечена, но не доказана вписанность четырехугольника.
1 б. Проделаны вычисления углов, из которых в одно действие следует вписанность четы- рехугольника, но сам этот вывод не получен.